\message{ !name(propostes-mates1-21.tex)}\documentclass{article}

\input{../temes/latexDefs.tex}

\begin{document}

\message{ !name(propostes-mates1-21.tex) !offset(-3) }


\title{Propostes per Mates I (tardor 2021)}
\maketitle{}

 \begin{flushright}
    (\href{http:pascal.upf.edu/math21/mates1-21/propostes-mates1-21.html}{Enllaç a aquest document en html})\\
    (\href{./propostes-mates1-21.pdf}{Enllaç a la versió pdf d'aquest document})\\
    (\href{./propostes-mates1-21.tex}{Enllaç a la font LaTeX})\\
    (\href{./figures/}{Enllaç als fitxers de les figures})\\
    (\href{../temes/latexDefs.tex}{Enllaç al fitxer de definicions latex})
  \end{flushright}


\tableofcontents{}

\section{Introducció}

Aquest document és una resposta a la petició de la coordinació de Matemàtiques d'orientar com el nou llibre de text pot cobrir el
que es fa actualment a Matemàtiques I. També es complementa amb la proposta de \emph{Clickers} o qüestionaris de conceptes ràpids.

S'inclou tanbé una proposta completa del que podria ser una nova primera setmana dedicada a una petita introducció al llenguatge
formal de les matemàtiques. 

Queda per tant per decidir la configuració final del temari del curs de Matemàtiques I.

\subsection{Els exercicis i problemes}

Per cada guia assenyalo els exercicis del llibre Pemb-RAU que pertoquen. Estan disponibles al \href{https://www.ucl.ac.uk/~uctpb08/pemrau4.htm}{web del llibre} les solucions als \href{http://www.homepages.ucl.ac.uk/~uctpb08/ANSEXRC4e.pdf}{exercicis}, i als \href{http://www.homepages.ucl.ac.uk/~uctpb08/SOLPROB4e.pdf}{problemes}.

\subsection{Sobre els Clickers o ConcepTests}

Amb la doble intenció de fer les classes \emph{de teoria} més interactives i d'aprofondir en els aspectes més conceptuals dels temes tractats es proposa que es destini part del temps de les classes a la formulació i discusió de preguntes de resposta múltiple en una seqüència com ara la següent.
\begin{enumerate}
\item Es planteja la pregunta en pantalla
\item Amb un temps de reflexió individual de un o dos minuts es demana que els estudiants triin la resposta correcta via Aula Global o alguna alternativa usant els seus mòbils.
\item A la vista de les respostes obtingudes que es visualitzen en pantalla, s'obre un temps de discussió que pot ser a partir de preguntes directes del professor o en grups petits dels estudiants.
\item Es pot tornar a donar opció als estudiants a respondre on-line, o es tanca el tema demanant a estudiants individuals que raonin la resposta finalment triada.
\item Pot ser que el tancament del procés requereixi explicacions suplementàries per part del professor o per part d'estudiants avançats.
\end{enumerate}

Hi ha un llibre que pot ser interessant: \href{http://www.maa.org/ebooks/notes/NTE79.html}{\emph{Teaching Mathematics with Classroom Voting With and Without Clickers}}. Aquí tenim \href{./figures/Teaching_Mathematics_with_Classroom_Voting_TOC.pdf}{l'index}.

Moltes de les preguntes proposades a continuació provenen de la \href{http://pi.math.cornell.edu/~GoodQuestions/}{colecció de la
  Cornell U}.
Aquests fan servir un codi:
\begin{description}
\item[Q] ``Quick Check"  Designed to quickly check students' basic understanding of the material
\item[P] ``Probing'' Usually requires some thought and extension beyond basic concepts. 
\item[D] ``Deep''  Difficult questions that will usually require instructor intervention to help guide students in the right direction.
\end{description}


Un altre recurs interessant: \url{http://mathquest.carroll.edu/} La seva
\href{http://mathquest.carroll.edu/libraries/PRE.student.edition.pdf} {colecció completa}. Més avall fem referència a algunes parts.

Moltes altres són possibles, però la
idea és que no siguin preguntes que requereixin gaire càlculs sino més aviat la comprensió i reflexió sobre els temes que s'han
explicat a classe o que se suposa que els estudiants han revistat pre-classe.

\section{T0 El llenguatge de les Matemàtiques}

Es tracta de fer una lleu introducció al llenguatge formal, limitat a l'àlgebra de conjunts i la de Boole elemental. Posem davant
els conjunts perquè probablement els són més familiars i els poden ajudar a entrar en el més abstracta de la lògica formal, que
tractem només somerament, sense entrar en taules de veritat, demostracions, etc. que poden ser objecte de tractament a mates II o III.

Referències:
\begin{itemize}
\item Pemb-Rau Cap. 3.1
\item S\&H 1.7 Teoría de conjuntos
\item S\&H 1.5 Algunos aspectos de lógica
\end{itemize}

\subsubsection{Guia 01 Llenguatge dels conjunts}

\centerline{Definicions}

\smallskip\hrule

Un conjunt és una col·lecció d'objectes considerada com una sola entitat.

Dels objectes en diem que són els \emph{membres} o \emph{elements} del conjunt.

Exemples:
\begin{itemize}
\item Els estudiants matriculats als graus de la UPF el curs 2021/22.
\item Els treballadors d'una empresa
\item Els nombres naturals parells més petits que 10.
\end{itemize}

Els conjunts es poden descriure per enumeració o a través d'una propietat que els seus elements o membres han de satisfer.
El darrer exemple el podem descriure:
$$E = \{2, 4, 6, 8\} = \{n\in {\cal N}: n<10\}$$

 El signe $\in$ es llegeix ``pertany a'' i l'usem per afirmar que un element forma part d'un conjunt. Si no en forma part,
 escriurem $a\notin A$.

 \smallskip\hrule
\centerline{Subconjunts}

 Diem que un conjunt $A$ és subconjunt d'un conjunt $B$ si tots els elements de $A$ també ho són de $B$. Llavors escribim
 $A\subset B$.

 Per exemple, si $A$ és el conjunt dels treballadors d'una empresa i $B$ és el conjunt dels administratius de l'empresa, $B\subset
 A$.

Sempre es compleix que $A\subset A$. De fet, dos conjunts $A$ i $B$  són iguals, $A=B$ si i només si $A\subset B$ i $B\subset A$.

El conjunt especial $\emptyset$ és el que no té cap element, per exemple. el conjunt de les vaques que poden volar.

\smallskip\hrule
\centerline{Operacions amb conjunts}

\begin{tabular}[c]{|l|l|l|}\hline
  Unió de $A$ i $B$& $A\cup B$& Els elements que pertanyen almenys a un dels dos\\\hline
  Intersecció & $A\cap B$& Els elements que pertanyen a tots dos\\\hline
  Diferència & $A\backslash B$ & Elements de $A$ que no ho són de $B$\\\hline
\end{tabular}

Els diagrames de Venn són útils per visualitzar això.\\
\grafLink{Fig-SH-1-6.pdf} 

Exemple: Si $A=\{a,b,c,d\}$ i $B=\{c,d,e,f,g\}$, llavors
\begin{itemize}
\item $A\cup B = \{a,b,c,d,e,f,g\}$
\item $A\cap B = \{c,d\}$
\item $A\backslash B = \{a,b\}$ 
\item $B\backslash A = \{e,f,g\}$ 
\end{itemize}

Es compleixen les següents propietats, que podem comprovar amb els corresponents diagrames de Venn:
\begin{description}
\item[O1] $A\cup A = A$, $A\cap A = A$
\item[O2] $A\cup \emptyset = A$, $A\cap \emptyset = \emptyset$
\item[O3] $A\cup B = B\cup A$, $A\cap B = B\cap A$
\item[O2] $(A\cup (B\cup C) = (A\cup B) \cup C$. Ho escriurem $A \cup B\cup C$
\item[O3] $(A\cap (B\cap C) = (A\cap B) \cap C$. Ho escriurem $A \cap B\cap C$
\item[O4] $A\cup(B\cap C) = (A\cup B) \cap (A \cup C)$
\item[O5] $A\cap(B\cup C) = (A\cap B) \cup (A \cap C)$
\end{description}



 \smallskip\hrule
\centerline{Complementari}

En el cas que tractem amb conjunts inclosos en un cert \emph{univers}, podem parlar del conjunt complementari, el que està format
pels elements que no hi pertanyen. Indiquem amb $A^\prime$ o $A^c$ el complementari de $A$.

Es compleixen les següents propietats, que podem comprovar amb els corresponents diagrames de Venn:
\begin{description}
\item[C1] $A^{\prime\prime} = A$
\item[C2] $(A\cup B)' = A'\cap B'$
\item[C3] $(A\cap B)' = A'\cup B'$
\end{description}


Podeu practicar amb diagrames de Venn de conjunts i els seus complementaris a \url{https://www.geogebra.org/m/KSuUb2TR}.

Per exemple, així es veu $(A\cup B)'$: \includegraphics[width=0.2\linewidth]{figures/Venn1.png}


\smallskip\hrule


 
 \subsubsection{Quizz pre-classe 01}
 \begin{itemize}
 \item Veritat o fals?
   \begin{itemize}
   \item $a\in A$ vol dir que $a$ és un subconjunt de $A$
   \item $a\notin\{a, b, c, d\}$
   \item $A\cup B$ és la intersecció de $A$ i $B$
   \end{itemize}
 \item Si $A$ és el conjunt d'europeus, $B$ el de catalans i $C$ el de barcelonins, quina és correcta?
   \begin{itemize}
   \item $A\subset C$
   \item $C\subset A$
   \item $B\subset C$
   \end{itemize}
 \end{itemize}
 
 
 \subsubsection{Clickers 01}

 \begin{itemize}
 \item El conjunt representat a la figura \includegraphics[width=0.2 \linewidth]{figures/Fig-SH-1-7.pdf} correspon a
   \begin{itemize}
   \item $A\cup (B\cap C)$
   \item[*] $A\backslash (B\cup C)$
   \item $A\cap (B\cup C)$
   \item $(B\cup C)\backslash A$
   \end{itemize}
 \item Siguin $A$ el conjunt d'empleats d'una empresa, $B$ el conjunt de les dones empleades de l'empresa, $C$ el conjunt
   de directius de l'empresa, $D$  el conjunt d'empleats de la empresa que cobren més de mil euros al mes.\\
   Digues si són veritables o no les següents:
   \begin{itemize}
   \item $A\subset B$
   \item $B\subset D$
   \item $C\subset D$
   \item $A\backslash B$ és el conjunt d'homes empleats a l'empresa
   \item $B\cap C$ és el conjunt de directives de l'empresa
   \end{itemize}
\item Recorda que $(a,b)$ indica l'interval dels nombres reals que estan entre $a$ i $b$, i que si posem $(a,b]$ indiquem que $b$
  també està inclós en el conjunt.
  Digues si són veritables o no les següents:
   \begin{itemize}
   \item $(2,3) \subset (2, 6)$
   \item  $(2,5) \cap [3, 6) = (3, 5)$
   \item $(2,5) \cup (5, 6) = (2, 6)$
   \end{itemize}
 \end{itemize}

 
\subsubsection{Guia 02 Lògica de les proposicions}

\centerline{Proposicions}

Una proposició o enunciat és una afirmació que pot ser veritable o falsa. Per exemple ``$2+2=5$'', o ``$x=2$ és solució de
$x^2-4$''.

No considerem que ``El color vermell és bonic'' sigui una proposició.

Sovint expressem una proposició amb una lletra, per exemple $p=$ ``5  és un nombre primer''.

 
\smallskip\hrule
\centerline{Operacions amb proposicions}

\begin{tabular}[c]{|l|l|l|}\hline
    & &És veritat quan \\\hline
  Negació de $p$ & $\neg p$ & $p$ és falsa \\
  Disjunció de $p$ i $q$& $p$ ó $q$, $p\vee q$ & \textbf{Almenys  una}  de les dues és veritat\\
  Conjunció de $p$ i $q$ & $p$ i $q$, $p\wedge q$& \textbf{Totes dues} són veritat\\
  Implicació & $p\Rightarrow q$ & Sempre que $p$ és veritat, $q$ també ho és\\
  Equivalència & $p\Leftrightarrow q$ & Sempre que una de les dues és veritat, l'altra també\\\hline
\end{tabular}

Exemples:
\begin{itemize}
\item La negació de $x<2$ és $x\geq 2$.
\item L'acció $A$ ha guanyat valor \textbf{ó} L'acció $B$ ha perdut valor (a la borsa avui)
\item 3 és primer \textbf{i} 25 és divisible per 5
\item $x^2=2 \Rightarrow x=\sqrt{2}$
\item $a<b \Leftrightarrow b>a$
\end{itemize}

Quan tenim $p\Rightarrow q$, diem que:
\begin{itemize}
\item $p$ és l'antecedent i $q$ és el conseqüent.
\item $p$ és condició suficient per $q$
\item $q$ és condició necessària per $p$
\end{itemize}

Exemples:
\begin{itemize}
\item Ser català és condició suficient per ser europeu.
\item Ser espanyol és condició necessària per ser català.
\item $x=2$ és condició suficient per $x^2=4$.
\item $x>2$ és condició necessària per $x>5$.
\end{itemize}

 \smallskip\hrule

 \centerline{Regles lògiques}

 Per a $p, q$ proposicions,
 \begin{description}
 \item[L1] $\neg(\neg p)$ és equivalent a $p$
 \item[L2] $\neg(p\wedge q)$ és equivalent a $\neg p \vee \neg q$
 \item[L3] $\neg (p\vee q)$ és equivalent a $\neg p \wedge \neg q$
 \item[L4] $\neg (p\Rightarrow q)$ és equivalent a $\neq q \Rightarrow \neg q$
 \end{description}

 Exemples:
 \begin{itemize}
 \item El contrari de ``Pere no és estudiant'' és ``Pere és estudiant''.
 \item La negació de ``Joan anirà a votar'' \textbf{ó} ``Irene anirà a votar'' és ``Joan no anirà a votar'' \textbf{i} ``Irene no anirà a votar''.
 \item El contrari de ``Emma i Laia són esportistes'' és ``Emma no és esportista'' \textbf{ó} ``Laia no és esportista''.
 \item La contrària de $2<x<5$ és $x\leq 2$ o $x\geq 5$
 \end{itemize}

 Observem el paral·lelisme entre:
 \begin{tabular}{ll}
Negació i complementari d'un conjunt:& $x\in A'$ equival a $\neg(x\in A)$.\\
Disjunció i unió de conjunts:& $x\in A\cup B$ equival a $x\in A \vee x\in B$.\\
Conjunció i intersecció:& $x\in A\cap B$ equival a $x\in A \wedge x\in B$.\\
Implicació i inclusió:& $A\subset B$ equival a $x\in A\Rightarrow x\in B$.
 \end{tabular}

%$\smallskip\hrule

\subsubsection{Quizz pre-classe 02}

\begin{itemize}
\item Cert o fals? Una proposició ha de ser sempre veritable.
\item Cert o fals? "La lluna és una estrella" no pot ser una proposició.
\item $3=5$ no és una proposició
\end{itemize}


 
 \subsubsection{Clickers 02}

 \begin{enumerate}
 \item Quines de les següents frases són proposicions:
   \begin{itemize}
   \item $4^{500}>5^{400}$
   \item És difícil trobar les solucions de $2x^3-3x^2+5x-8=0$
   \item $7238 + 8327$
   \item $ 2021 = 43 * 47 + 1$
   \item Hi ha un nombre primer més gran que $100^{100}$
   \end{itemize}
 \item Marca les correctes:
   \begin{enumerate}
   \item  Ser un hipopòtam és CN per ser un animal
   \item Ser bomber és CS per ser persona
   \item Ser un cotxe és CN per ser una màquina
   \item Tenir 18 anys és CN per traure's el carnet de conduir.
   \end{enumerate}
\item La negació de ``Plou i fa sol'' és
   \begin{enumerate}
   \item No plou i no fa sol
   \item Ni plou ni fa sol
    \item No plou o no fa sol
    \item Plou però no fa sol
    \item Quan plou de vegades fa sol
   \end{enumerate}
 \item Marca les correctes. Si diem que $p$ implica $q$
   \begin{enumerate}
   \item $p$ és condició necessària per $q$
   \item $p$ és condició suficient per $q$
   \item  $q$ és condició necessària per $p$
   \item  $q$ és condició suficient per $p$
   \end{enumerate}
\item Substitueix l'espai en blanc per ``condició necessària'', ``condició suficient'', o ``condició necessària i suficient''.
   \begin{enumerate}
   \item $2 x + 5 > 13$ és \fbox{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } per $ x\geq 0$
   \item $x \geq 50$ és \fbox{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } per $x\geq 0$
   \item $x \geq 0$  és \fbox{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } per $x\geq 4$
   \end{enumerate}
\item Substitueix l'espai en blanc per ``si'', ``només si'', o ``si i només si''.
   \begin{enumerate}
   \item $x=\sqrt{4}$ \fbox{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } $ x = 2$
   \item $x^2>0$ \fbox{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } $x> 0$
   \item $x^2=4$ \fbox{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } $x=2$
   \item $x^2=4$ \fbox{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } $x=2\vee x=-2$ 
   \item $x^2<9$  \fbox{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } $x<3$
   \item $x(x^2+1)=0$  \fbox{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } $x=0$
   \item $x(x+3)$  \fbox{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } $x>-3$
   \end{enumerate}
  \item Per cada proposició de les següents, diues quins valors de $a$ fan que sigui veritat.
   \begin{enumerate}
   \item $3<4$ i $a=12$
   \item $4<3$ i $a=12$
   \item $4<3$ ó $a=12$
   \item Si $a=4\times 3$, llavors $3<4$
   \item Si $a=4\times 3$, llavors $3>4$
   \item Si $3>4$. llavors $a=4\times 3$
   \end{enumerate}
 
 \end{enumerate}

% \includegraphics[width=0.5\linewidth]{figures/Exc-IB-AnAp-5-1.png}

 Més clickers sobre logica proposicional bàsica: \url{http://myslu.stlawu.edu/~plock/Math280Clicker/Ma280-1.ppt}

 A la mateixa pàgina n'hi ha d'altres sobre quantificadors, \url{http://myslu.stlawu.edu/~plock/Math280Clicker/Ma280-3.ppt},
 demostracions, etc que podrien ser utils per una setmana de mates II.
 

\subsubsection{Exercicis Llista}

Se'n poden traure del S\&H 1.7: \grafLink{Prob-SH-1-7.pdf}

 
 \subsubsection{Exercicis extra}

\grafLink{Exc-PR-3-1.png}

%\end{document}

\section{T0B El llenguatge de les matemàtiques II}

Es tracta d'ampliar una mica el que s'ha fet a Matemàtiques I sobre el llenguatge. Allà s'ha tractat el llenguatge dels conjunts i
els elements bàsics de la lògica booleana.

Aquí introduirem els quantificadors universal i existencial amb un repàs de les regles bàsiques dels connectors i en una segona guia alguns elements dels
mètodes de demostració.

Referències:
\begin{itemize}
\item Pemb-Rau 
\item S\&H
\item S\&H 
\end{itemize}

\subsubsection{Guia 0B1}

\smallskip\hrule
\centerline{Slide 0: Proposicions amb quantificador}


Recordem:
\begin{tabular}[c]{|l|l|l|}\hline
    & &És veritat quan \\\hline
  Negació de $p$ & $\neg p$ & $p$ és falsa \\
  Disjunció de $p$ i $q$& $p$ ó $q$, $p\vee q$ & \textbf{Almenys  una}  de les dues és veritat\\
  Conjunció de $p$ i $q$ & $p$ i $q$, $p\wedge q$& \textbf{Totes dues} són veritat\\
  Implicació & $p\Rightarrow q$ & Sempre que $p$ és veritat, $q$ també ho és\\
  Equivalència & $p\Leftrightarrow q$ & Sempre que una de les dues és veritat, l'altra també\\\hline
\end{tabular}

I recordem encara:
\begin{tabular}[c]{|l|l|}\hline
 L1 & $\neg(\neg p)$ és equivalent a $p$\\
 L2 & $\neg(p\wedge q)$ és equivalent a $\neg p \vee \neg q$\\
 L3 & $\neg (p\vee q)$ és equivalent a $\neg p \wedge \neg q$\\
%% L4 & $\neg (p\Rightarrow q)$ és equivalent a $p$ i $\neg q$\\\hline
 \end{tabular}

\emph{Nota:\/} En llenguatge no formal hi ha expressions que poden confondre. Per exemple,   en català, les expressions ``Res no és
gratuït, tot té un preu''  i  ``Res és gratuït, tot té un preu'' es consideren vàlides i equivalents.
 
 \smallskip\hrule
\centerline{Slide 1: Proposicions amb quantificador}

Si tenim un conjunt $X$ i una afirmació $p(x)$ sobre els seus elements $x\in X$ que pot ser veritat o falsa, podem dir

\begin{tabular}[c]{|l|l|}\hline
  Escrivim & Llegim \\\hline
  $\forall x\in X, p(x)$ & \textbf{Per a tots els $x$ de $X$}, $p(x)$ es compleix\\
  $\exists x\in X: p(x)$ & \textbf{Existeix algún} (almenys un) $x$ de $X$ tal que $p(x)$ es compleix\\\hline
\end{tabular}

Exemples, per $\cal N$, el conjunt dels nombres naturals, les següents són veritat:
\begin{itemize}
\item $\forall n\in {\cal N}, (n+1)^2 = n^2+2n+1$
\item $\exists n\in {\cal N}: n^2 = 16$
\item $\exists n\in {\cal N}: n>16$
\item Existeix algún múltiple de 5 que és parell.
\end{itemize}

però les següents són falses:

\begin{itemize}
\item $\forall n\in {\cal N}, (n+1)^2 = n^2+1$
\item $\exists n\in {\cal N}: n^2 = 20$
\item $\exists n\in {\cal N}: n>n-1$
\item Tots els múltiples de 5 són parells.
\item Existeix algún nombre natural $n$ tal que $n-1 = 2n$.
\end{itemize}

 \smallskip\hrule
\centerline{Slide 2: Negació amb quantificadors}

La negació canvia un quantificador en l'altre.

\begin{tabular}[c]{|lccl|}\hline
  El contrari de & Tot $x$ compleix $p(x)$ & és  & Algun $x$ no compleix $p(x)$\\
  El contrari de & Algun $x$ compleix $p(x)$ & és  & Tot $x$ no compleix $p(x)$\\\hline
\end{tabular}

En versió formal: 
\begin{tabular}[c]{|lcl|}\hline
  $\neg \left(\forall x\in X, p(x) \right)$ & equival a  & $\exists x\in X, \neg p(x)$\\
  $\neg \left(\exists x\in X, p(x) \right)$ & equival a  & $\forall x\in X, \neg p(x)$ \\\hline
\end{tabular}

Exemples:
\begin{itemize}
\item El contrari de ``Ha plogut tots els dies'' és ``Algun dia no ha plogut''.
\item El contrari de ``Tots els treballadors cobraran més'' és ``Algun treballador no cobrarà més''.
\end{itemize}

Exemples en notació formal:
\begin{itemize}
\item El contrari de \fbox{$\forall n\in {\cal N}, n^2>n$} és \fbox{$\exists n\in {\cal N}: n^2\leq n$ }
\item El contrari de \fbox{$\exists n\in {\cal N}: n^2 < n+25$} és  \fbox{$\forall n\in {\cal N}, n^2\leq n+25$}
   
\end{itemize}

Exemples (al tanto amb el llenguatge poc formal, pot induir a confusions, sovint va bé formalitzar la proposició)
\begin{itemize}
\item El contrari de ``tots els homes són honestos'' és ``hi ha algun home que no és honest''.\\
  Això ho formalitzem posant $H$ el conjunt de tots els homes, $p(h)=$ L'home $h$ és honest, i tenim \fbox{$\forall h\in H, p(h)$}
  i el contrari \fbox{$\exists h\in H: \neg p(h)$}.
\item El contrari de ``hi ha alguna vaca que pot volar'' és ``totes les vaques no poden volar'' o ``cap vaca pot volar''.
\item El contrari de ``tots els europeus són espanyols'' és ``algun europeu no és espanyol''.
\item Si neguem que ``Algú ha perdut el mòbil'', direm que ``Ningú ha perdut el mòbil'', o bé ``Tots no han perdut el mòbil''.
\end{itemize}

\smallskip\hrule
\centerline{Slide 3: Negació amb quantificadors -- 2}
\centerline{En cap cap cap el que cap en aquest cap}

Observa que si en una proposició es combina algun quantificador amb altres connectives, cal anar al tanto!

\begin{itemize}
\item  El contrari de ``Per tot $x$ es compleix $p(x) \wedge q(x)$'' serà ``Per algun $x$ es compleix $\neg p(x)$ o es compleix
  $\neg q(x)$''.
\item El contrari de ``Per tot $x$ es compleix $p(x) \vee q(x)$'' serà ``Per algun $x$ es compleix $\neg p(x)$ i es compleix
  $\neg q(x)$''.
\end{itemize}

Exemples
\begin{itemize}
\item El contrari de ``tots els treballadors faran festa dissabte i diumenge'' és ``algun treballador treballarà dissabte o
  diumenge''.
\item El contrari de ``Algun pais africà té la vacuna de Pfizer o la de Moderna'' és ``Tots els països africans no tenen la
  Pfizer ni la Moderna''.
\end{itemize}

Formalitzem aquest darrer exemple: posem $A$ el conjunt de països africans. $p(a)=$ el país $a$ te la Pfizer. $q(a)=$ el país $a$
té la Moderna''. Llavors traduïm:
\begin{itemize}
\item ``Algun pais africà té la vacuna de Pfizer o la de Moderna'' és $\exists a\in A: p(a) \vee q(a)$''
\item El contrari és $\forall a\in A, \neg p(a) \wedge \neg q(a)$, és a dir ``Tots els països africans no tenen la
  Pfizer i no tenen la Moderna''.
\end{itemize}

\smallskip\hrule
\centerline{Slide 4: Negació amb quantificadors i implicacions}

Si recordem que \fbox{$\neg (p\Rightarrow q)$ és equivalent a $ p \wedge \neg q$}, podem dir ara:

\begin{tabular}[c]{|lccl|}\hline
  El contrari de & Per tot $x$ es compleix $p(x)\Rightarrow q(x)$ & és  & Per algun $x$ es té $p(x)$ i $\neg q(x)$\\\hline
\end{tabular}




 \subsubsection{Quizz pre-classe 0B1}

 \begin{enumerate}
 \item Repassem les connectives lògiques que vem veure anteriorment.
   \begin{enumerate}
   \item Digues si són veritat o no les següents afirmacions.
     \begin{enumerate}
     \item Per expressar $p$ ó $q$ fem servir $p\vee q$.
     \item Si diem que $p$ ó $q$ és veritat, no pot ser que $p$ i $q$ siguin totes dues veritat.
     \item Si diem que $p$ i $q$ és fals, totes dues $p$ i $q$ han de ser falses.
     \item Si diem que $p\Rightarrow q$ és veritat, llavors $q$ ha de ser veritat.
     \end{enumerate}
   \end{enumerate}
 \item Quina diries que és la contrària de ``Totes les meves amigues tenen moto o cotxe''?
   \begin{enumerate}
   \item Totes les meves amigues no tenen moto.
   \item Totes les meves amigues no tenen moto ni cotxe.
   \item Alguna amiga meva no té cotxe.
   \item Alguna amiga meva no té cotxe ni cotxe.
   \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\subsubsection{Guia 0B2 Lògica }

En aquesta guia introduïm les idees bàsiques dels mètodes de demostració matemàtica.
Tractarem
\begin{itemize}
\item Demostracio directa
\item Demostració indirecta
  \begin{itemize}
  \item per contraposició
  \item per contradicció, o reducció a l'absurd.
  \end{itemize}
\end{itemize}

La demostració per inducció quedaria per a treball opcional per a matrícula.

\smallskip\hrule
\centerline{Slide 0: La demostració matemàtica}
\smallskip\hrule

És un mètode que consisteix en demostrar que una \textbf{conclusió} és veritat a partir de una o diverses \textbf{hipòtesis} veritables.

Exemple: Demostrar que la suma de dos nombres parells és un nombre parell.

La hipòtesi és que dos nombres $n,m$ són parells.

La conclusió és que la suma $n+m$ és parell.

\textbf{Demostració:} \fbox{\parbox[t]{0.8\linewidth}{
  Suposant que $n,m$ són nombres naturals parells, hem de demostrar que $n+m$ és un nombre parell.\\
  Segons la definició de nombre parell, podem escriure $n=2k_1, m=2k_2$.\\
  Llavors, $n+m=2k_1+2k_2=2(k_1+k_2)$, i per tant, $n+m$ és parell.\\
  \rightline{QED}
}}


\smallskip\hrule
\centerline{Slide 0:}
\smallskip\hrule

\smallskip\hrule
\centerline{Slide 0:}
\smallskip\hrule

\smallskip\hrule
\centerline{Slide 0:}
\smallskip\hrule



\subsubsection{Quizz pre-classe 0B2}

\subsubsection{Exercicis Llista}

\begin{enumerate}
\item Expressa la contrària de cadascuna de les següents afirmacions. Recorda que no es tracta aquí si són afirmacions verdaderes
  o no.
  \begin{enumerate}
  \item Cada dia de les vacances vem anar a la platja o al parc d'atraccions
  \item Totes les treballadores de l'empresa tenen categoria inferior a $D$.
  \item La funció $f(x)$ és diferenciable en tots els punts de $(0,1)$.
  \item Tot nombre natural és parell o senar.
  \item Tot múltiple de 3 és també múltiple de 5.
  \item Existeix un punt $x_0$ tal que  $f(x_0)=0$.
  \item Per tots els punts $x_1> x_2$ de l'interval $(0,1)$ es compleix $f(x_1)>f(x_2)$.
  \item En algun punt $x_0$ del domini de la funció $f(x)$, es compleix que $f'(x)=0$ i $f''(x_0)<0$. 
  \item La matriu $M$ té alguna fila amb tots els elements iguals a zero.
  \end{enumerate}
 
\item \textbf{Eficiència Pareto}\label{sec:pareto-efic}
 En el llibre de text de Introducció a la Microeconomia que heu
  estudiat trobem, a 
  \href{https://www.core-econ.org/the-economy/book/es/text/leibniz-05-08-01.html}
  {5.8.1  La curva de eficiencia de Pareto}
  la següent definició:
  \emph{Una asignación factible es
  eficiente en términos de Pareto si no 
  existe una asignación dominante en términos de Pareto: es decir,
  nadie puede mejorar sin empeorar la situación de otro}.

Llegeix altre cop el capítol si no tens clar què vol dir la eficiència en termes Pareto.

Aquí ens interessa formalitzar els conceptes que apareixen. Posem que $A_1, A_2$ siguin dues assignacions factibles, és a dir que
assignen a cada individu unes quantitats que no superen el disponible i denotem $A_1(i), A_2(i)$ la utilitat que obté l'individu $i$ segons
les assignacions respectives.

Diem que $A_1$ \emph{domina} $A_2$ si, per tots els individus,  l'assignació segons $A_1$ és més gran o igual  que segons
$A_2$, és a dir que $\forall i, A_1(i)\geq  A_2(i)$ . Podem escriure $A_1\succeq A_2$ en aquest cas.

Llavors, si $\cal A$ denota el conjunt d'assignacions factibles, diem que $A^\star$ és una assignació Pareto-eficient si $\forall
A\in {\cal A}, A^\star \succeq A$.

\begin{enumerate}
\item Digues si per qualsevol assignació $A$ és cert que $A\succeq A$.
  \emph{Resposta:\/} Sí és cert, perquè per qualsevol individu es compleix $A(i) \geq  A(i)$.
\item Expressa fent aquestes notacions la afirmació ``$A_1$ no domina $A_2$''.\\
  \emph{Resposta:\/} Existeix algun individu pel qual l'assignació segons $A_1$ no és major o igual que segons $A_2$, o bé:
  $\exists i: A_1(i) < A_2(i)$.
\item Creus que  ``$A_1$ no domina $A_2$'' és aquivalent a ``$A_2$ domina $A_1$''?. Raona la teva resposta.\\
  \emph{Resposta:\/} No. La segona afirmació diu que per tots els individus la assignació segons $A_1$ és menor o igual que segons
  $A_2$.
\item Expressa amb les teves paraules la afirmació ``$A^\star$ no és una assignació Pareto-eficient''.
  \emph{Resposta:\/} Voldrà dir que hi ha alguna assignació $A\in {\cal A}$ tal que $A^\star$ no domina $A$.
  \end{enumerate}

\item \textbf{Finançament de les CCAA} En la distribució de recursos entre les CCAA 


\end{enumerate}



\subsubsection{Exercicis extra}


\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% temporal
 
\section{T1 Arrel quadrada. Definició de funció Funcions elementals i valor absolut}

Convindria aprofitar aquest tema per esmentar que les funcions poden ser de una o de més vairables, simplement algun
exemple. També la idea de funció composta es pot introduir ja.

Vegeu els capítols 3.3 i 3.4 del Pem-Rau:


\begin{verbatim}
3.3  Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
3.4  Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
\end{verbatim}
\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

Exercicis 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3, 3.3.5
\grafLink{Exc-PR-3-3.png}

Exercicis 3.4.1, 3.4.2\\
i problemes 3-1, 3-2, 3-3, 3-4\\
\grafLink{Prob-PR-3-p1.png}
\grafLink{Prob-PR-3-p2.png}

\subsection{ConcepTests }
 
Questions senzilles sobre el concepte de funció, domini, recorregut, es poden trobar a
\href{http://mathquest.carroll.edu/libraries/PRE.student.01.01.pdf}{Classroom Voting Questions:  Precalculus. Functions and Change}

Per exemple

Which of the following functions has its domain identical with its range?\\
(a) $f(x) =x^2$\\
(b) $g(x) =\sqrt{x}$\\
(c) $h(x) =x^4$\\
(d) $i(x) =|x|$



\section{T2 Dominis, Recorregut. Circumferència}

Potser aquest ema i l'anterior es podrien fondre, no?

\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

\subsection{ConcepTests }

Questions senzilles sobre el concepte de funció, domini, recorregut, es poden trobar a
\href{http://mathquest.carroll.edu/libraries/PRE.student.01.01.pdf}{Classroom Voting Questions:  Precalculus. Functions and Change}

Per exemple

\begin{itemize}
\item Which of the following functions has its domain identical with its range?\\
(a) $f(x) =x^2$\\
(b) $g(x) =\sqrt{x}$\\
(c) $h(x) =x^4$\\
(d) $i(x) =|x|$
\end{itemize}

O de Cornell:

\begin{itemize}
\item {\bf [Q]} \textbf{True} or \textbf{False}. If 
$f(x)=\displaystyle{\frac{x^2-4}{x-2}}$ and
$g(x)=x+2$, then we can say the functions $f$ and $g$ are equal. 

{\it Answer: False.} Note that even if the two functions have the same rule, they are defined on different domains, i.e., $f$ is not defined at 2.
\end{itemize}


\section{T3 Funcions lineals i exponencials. Funcions quadràtiques (repàs)}

No entenc molt bé perquè es tracten aquí les funcions exponencials. Em semblaria més coherent tractar lineals/potencials.

El tractament de les quadràtiques jo el faria basat en ``quadrar l'expressió'', és a dir transformar-la en la forma $y=a(x-p)^2+q$

\begin{verbatim}
1.1  Straight line graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.2  An economic application: supply and demand . . . . . . . . . . . . . . .8
2  LINEAR INEQUALITIES
2.1  Inequalities 

4.1  Quadratic functions and equations  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
4.2  Maximising and minimising quadratic functions . . . . . . . . . . . . . .65
4.3  Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
\end{verbatim}

El 4.3 va sobre potències, exponents i funcions potencials.

El llibre tracta les funcions exponencials després de la derivació i juntament amb els logaritmes. Llavors entra en el tema del
creixement amb totes les eines a punt. Té sentit. 

\begin{verbatim}
9  EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS163
9.1  The exponential function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
9.2  Natural logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
9.3  Time in economics  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174
\end{verbatim}


\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

Exercicis 4.4.1 a 4.4.5:
\grafLink{Exc-PR-4-1.png}

Exercicis 9.1.1 a 9.1.3
\grafLink{Exc-PR-9-1.jpeg.pdf}

Problema 9-2 
\grafLink{Prob-PR-9-p177.jpeg.pdf}

Si es tractés amb potències i funcions potencials, exercicis 4.3.1 a 4.3.9: \grafLink{Exc-PR-4-3.png}



\subsection{ConcepTests }

Moltes questions a:
\href{http://mathquest.carroll.edu/libraries/PRE.student.00.05.pdf}{Classroom Voting Questions:  Precalculus. Lines and Parabolas}

I també a \href{http://mathquest.carroll.edu/libraries/PRE.student.01.02.pdf}{Classroom Voting Questions:  Precalculus. Exponential Functions}

\section{T4 Desplaçaments de gràfiques. Desigualtats gràfiques}

El tema del desplaçament de gràfiques crec que s'hauria de contextualitzar més, no hi veig sentit si es planteja com unes regles
que s'aprenen de memòria per respondre preguntes tipus. Si de cas, s'ha de lligar amb exemples on hi hagi canvis d'origen, canvis
d'escala, etc.

Del llibre:

\begin{verbatim}
2  LINEAR INEQUALITIES
2.1  Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.2  Economic applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
2.3  Linear programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
\end{verbatim}

Tindria sentit imtropduir aqui la programació lineal amb resolució gràfica?

\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

Sobre desiguatats lineals, 2.2.1 a 2.2.3:
\grafLink{Exc-PR-2-2.pdf}

En el problema PR 3-2 es tracta el tema de canvi de variable per tractar el desplaçament.

\subsection{ConcepTests }

\href{http://mathquest.carroll.edu/libraries/PRE.student.01.03.pdf}{Classroom Voting Questions:  Precalculus. New  Functions From  Old:  Compositions,  Inverses, and Transforms}


\section{T5 Funcions polinòmiques (repàs). Continuïtat. Teorema de Bolzano}

Aquest tema el trobo desproporcionadament complex i difícil, sobretot si el comparo amb els primers del curs. Crec que tractar la
continuïtat i els límits cap a $\pm\infty$ sense haver parlat abans de limits...

Potser algunes coses de polinomis s'haurien de moure als T2 o T3.

En el llibre Pem-Rau:
\begin{verbatim}
5.4  Limits and continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
\end{verbatim}
En el llibre, el capítol comença amb succession, series i progressions geomètriques en economia, temes que aquí no tractem.

Pel que fa a límits, fa una definició ``verbal'' i després també entra en $\epsilon/\delta$. Dona les regles aritmètiques dels
límits, i posposa les demostracions aun capítol 31 on fa l'anàlisi amb rigor. Tracta de passada els polinomis com a exemple de
funcions continues, tracta breument la indeterminació $0/0$ i els límits
laterals. Després tracta la continuïtat. I el T. Valor Intermedi, el de Bolzano no l'esmenta.


\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

5.4.1 a 5.4.4: \grafLink{Exc-PR-5.4-p97.jpeg.pdf}\grafLink{Exc-PR-5.4-p98.jpeg.pdf}



\subsection{ConcepTests }

En aquest primer test, si es creu que els estudiants no tenen clara la distribució dels irracionals a la recta real, es podria
canviar la definició: $x^2$ o $-x^2$ segons si la tercera xifra de l'expressió decimal de $x$ és o no zero.

\begin{itemize}
\item  {\bf [D]} Consider the function
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
             x^2 & \mbox{$x$ is rational, $x\neq 0$} \\
             -x^2 & \mbox{$x$ is irrational} \\
	     \mbox{undefined} & x=0 
		\end{array}\right.\]

Then
\begin{enumerate}
\item there is no $a$ for which $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$
exists
\item there may be some $a$ for which
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ exists, but it is impossible
to say without more information
\item $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ exists only when $a=0$
\item $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ exists for infinitely
many $a$
\end{enumerate}

{\it Answer: (c).} Students should be encouraged to draw the graph
and discuss.
\item {\bf [P]} \textbf{True} or \textbf{False}. At some time since you were
born your weight in pounds equaled your height in inches. 

{\it Answer: True.} Students must consider the difference of two functions: 
$f(t)=\mbox{height}(t)-\mbox{weight}(t)$, functions of time. At birth, 
$f(\mbox{birth})>0$ and right now, $f(\mbox{now})<0$, hence by IVT $f(T)=0$, where $T$ is some time in the past.
It is important to stress that this technique of looking at the difference of two functions is recurrent in calculus.
\item  {\bf [Q]} \textbf{True} or \textbf{False}.  As $x$ increases to $100$,
$f(x)=1/x$ gets closer and closer to $0$, so the limit as $x$ goes
to $100$ of $f(x)$ is $0$.  Be prepared to justify your answer.

{\it Answer: False.} As $x$ increases to $100$,
$f(x)=1/x$ gets closer and closer to $0$, gets closer and closer to $1/1000$, but not as close as to $1/100$. 
The question points out the weakness of the statement "$f(x)$ gets closer to $L$ as $x\to a$, and therefore $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L}$".
\item  {\bf [Q]} You know the following statement is true: 
\begin{quote}
\emph{If $f(x)$ is a polynomial, then $f(x)$ is continuous.}
\end{quote}
Which of the following is also true?
\begin{enumerate}
\item If $f(x)$ is not continuous, then it is not a polynomial.
\item If $f(x)$ is continuous, then it is a polynomial.
\item If $f(x)$ is not a polynomial, then it is not continuous.
\end{enumerate}

{\it Answer: (a).} This may seem like an easy logic question, but students tend to have difficulties; it might be a good time to review some logic. This question prepares students for reasoning that even if differentiability implies continuity, continuity 
does not imply differentiability. Ask for examples of functions that are continuous, but not polynomials.
\item  {\bf [P]} \textbf{True} or \textbf{False}. At some time since you were
born your weight in pounds equaled your height in inches. 

{\it Answer: True.} Students must consider the difference of two functions: 
$f(t)=\mbox{height}(t)-\mbox{weight}(t)$, functions of time. At birth, 
$f(\mbox{birth})>0$ and right now, $f(\mbox{now})<0$, hence by IVT $f(T)=0$, where $T$ is some time in the past.
It is important to stress that this technique of looking at the difference of two functions is recurrent in calculus.
\item  {\bf [D]} \textbf{True} or \textbf{False}. $x^{100}-9x^2+1$ has a root in $[0,2]$.

{\it Answer: True.} This problem is not a direct application of IVT, plugging in $0$ and $2$, we get positive numbers, so the student must choose some other number in $[0,2]$ to test. Choosing $0$ and $1$, or $1$ and $2$, IVT immediately applies.

\end{itemize}

\section{T6 Funcions potencials (repàs). Funcions exponencials i logaritmes}

El Perm-Rau tracta les exponencials despr´s d'haver vist la derivada. Té sentit perquè el més interessant de la funció exponencial
és el creixement. Es pot donar per suposat que ja saben alguna cosa de derivades i fer-ho així?


\begin{verbatim}
4.3  Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
4.4  Logarithms    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

9.1  The exponential function   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
9.2  Natural logarithms   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
\end{verbatim}

\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

Exercicis 4.3:
\grafLink{Exc-PR-4-3.png}

Problemes cap. 4:
\grafLink{Exc-PR-4-4-Prob-4.jpeg.pdf}

Exercicis 9.1:
\grafLink{Exc-PR-9-1.jpeg.pdf}

Exercicis 9.2:
\grafLink{Exc-PR-9-2.jpeg.pdf}

Problemes cap 9:
\grafLink{Prob-PR-9-p177.jpeg.pdf}
\grafLink{Prob-PR-9-p178.jpeg.pdf}


\subsection{ConcepTests }

\href{http://mathquest.carroll.edu/libraries/PRE.student.01.06.pdf}{Classroom Voting Questions:  Precalculus: Powers, Polynomials, and Rational Functions}

\href{http://mathquest.carroll.edu/libraries/PRE.student.01.04.pdf}{Sobre logaritmes}

\href{http://mathquest.carroll.edu/libraries/PRE.student.01.02.pdf}{Sobre exponencials}


\section{T7 Derivada i recta tangent. Creixement}


\begin{verbatim}
6  INTRODUCTION TO DIFFERENTIATION                                         100
6.1  The derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
6.2  Linear approximations and differentiability . . . . . . . . . . . . . 108
6.3  Two useful rules  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.4  Derivatives in economics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
7  METHODS OF DIFFERENTIATION                                              119
7.1  The product and quotient rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
7.2  The composite function rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
\end{verbatim}


\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

Exercicis 6.1:
 \grafLink{Exc-PR-6-1.png}

 Exercicis 6.2:
\grafLink{Exc-PR-6-2.png}

Exercicis 6.3:
\grafLink{Exc-PR-6-3.png}

Exercicis 6.4 i Problemes capítol 6:
\grafLink{Exc-PR-6-4-Prob-6-p117.jpeg.pdf}
\grafLink{Prob-PR-6-p118.png}

Exercicis 7.1:
\grafLink{Exc-PR-7-1.jpeg.pdf}

Exercicis 7.2:
\grafLink{Exc-PR-7-2.jpeg.pdf}


\subsection{ConcepTests }

\begin{itemize}
\item Digues quines de les següents són certes o falses per una funció $f(x)$ definida i diferenciable a tot ${\cal R}$.
  Prepara't per raonar si és certa perquè, i si és falsa a mostrar un contraexemple.
  \begin{itemize}
  \item $f'(x)>0$ per tot $x$ és condició necessària per $f$ és creixent a tot ${\cal R}$.
  \item $f'(x)>0$ per tot $x$ és condició suficient per $f$ és creixent a tot ${\cal R}$.
  \item $f'(x)<=0$ per tot $x$ és condició necessària per $f$ és decreixent a tot ${\cal R}$.
  \item $f'(x)<=0$ per tot $x$ és condició suficient per $f$ és decreixent a tot ${\cal R}$.
  \item Si la funció és creixent a tot ${\cal R}$, no pot tenir cap punt estacionari.
  \item Si $x_0$ és un punt estacionari de la funció, la funció no pot ser decreixent a $x_0$.
  \end{itemize}
\end{itemize}


N'hi ha una àmplia col·lecció a \href{http://mathquest.carroll.edu/diffcalc.html}{el projecte Carrol U.}, però aquí en recollim
alguns de la Cornell:

\begin{itemize}
\item  {\bf [Q]} If the radius of a circle increases from $r_1$ to $r_2$, then the average rate of change of the area of the circle is	
\begin{enumerate}
\item less than $2\pi r_2$
\item greater than $2\pi r_1$
\item equal to $2\pi \frac{r_1+r_2}{2}$
\item all of the above
\end{enumerate}

{\it Answer: (d).} This is a straightforward application of the definition of average rate of change. Once we get $(c)$ as an answer, $(a)$ and $(b)$ follow:
$$\frac{\pi r_2^2-\pi r_1^2}{r_2-r_1}=\pi (r_2+r_1)=2\pi \frac{r_2+r_1}{2}$$
\item  {\bf [P]} The derivative of $f(x)=x|x|$ at $x=0$
\begin{enumerate}
\item is 0. 
\item does not exist, because $|x|$ is not differentiable at $x=0$ 
\item does not exist, because f is defined piecewise
\item does not exist, because the left and right hand limits do not agree.
\end{enumerate}

{\it Answer: (a).} Instructors should encourage the use of the limit definition of derivative; $f^{\prime}(0)=0$
\item  {\bf [P]} If $f^{\prime}(a)$ exists, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$
\begin{enumerate}
\item it must exist, but there is not enough information to determine it exactly
\item equals $f(a)$
\item equals $f^{\prime}(a)$
\item it may not exist
\end{enumerate}

{\it Answer: (b).} If $f$ is differentiable at $a$, it must be continuous at $a$, and therefore the limit equals $f(a)$. Many students will like answers $(a)$ and $(d)$.
\item  {\bf [Q]} A slow freight train chugs along a straight track.  The distance
it has traveled after $x$ hours is given by a function $f(x)$.  
An engineer is walking along the top of the box cars at the rate of 
$3$ mi/hr in the same direction as the train is moving.
The speed of the man relative to the ground is 
\begin{enumerate}
\item $f(x)+3$
\item $f'(x)+3$
\item $f(x)-3$
\item $f'(x)-3$
\end{enumerate}

{\it Answer (b).} Once the students realize that $f^{\prime}(x)$ is the speed of the train after $x$ hours, most of them will give the right answer.
\item  {\bf [Q]} Suppose $f^{\prime}(x)$ exists for all $x$ in $(a,b)$. Read the following four statements:

\renewcommand{\theenumii}{\Roman{enumii}}
\begin{enumerate}
\item $f(x)$ is continuous on $(a,b)$
\item $f(x)$ is continuous at $x=a$
\item $f(x)$ is defined for all $x$ in $(a,b)$
\item $f^{\prime}(x)$ is differentiable on $(a,b)$
\end{enumerate}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\begin{enumerate}
\item I and III
\item I, II and III
\item All of the above
\item None of the above
\item Only I
\end{enumerate}

{\it Answer: (a).} Students will know that I holds. They might have questions about II and not be quite sure about III. 
\item  {\bf [Q]} The Constant Multiple Rule tells us $$\frac{d}{dx}cf(x)=c \frac{d}{dx}f(x)$$
 and the Product Rule says $$\frac{d}{dx}cf(x)=c\frac{d}{dx}f(x)+f(x)\frac{d}{dx}c$$
\textbf{True} or \textbf{False}. The two rules agree. Be prepared to justify your answer.

{\it Answer: True.} Some students will be unable to recognize that we get the same result. Remind them that the derivative of a constant function is zero.
\item {\bf [Q]} If $f$ and $g$ are both differentiable and $h=f\circ g$, $h^{\prime}(2)$ equals
\begin {enumerate}
\item $f^{\prime}(2)\circ g^{\prime}(2)$
\item $f^{\prime}(2)g^{\prime}(2)$
\item $f^{\prime}(g(2)) g^{\prime}(2)$
\item $f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(2)$
\end{enumerate}

{\it Answer: (c).} Even though students may have memorized the Chain Rule formula, some may not be able to apply it to this type of problem.
\item  {\bf [Q]} \textbf{True} or \textbf{False}. $\frac{d}{dx}\ln (\pi)=\frac{1}{\pi}$.

{\it Answer: False.} Students must observe that $\ln (\pi)$ is a constant, and thus $\frac{d}{dx}\ln (\pi)=0$.

\end{itemize}

\section{T8 Derivada implícita}

La regla de la cadena la he inclós en l'anterior secció, la derivada implícita el llibre la tracta molt més endavant, amb el
teormea de la funció implícita. Però està bé tractar-ho aquí, de fet s'hauria d'aprofitar per enllaçcar amb el que veuen a
Inroducció a Micro, isoquantes i demés. Això ho tracta bé el llibre

\begin{verbatim}
7.2  The composite function rule . . . . . .121
15 IMPLICIT RELATIONS                       293
15.1 Implicit differentiation . . . . . . . 293
\end{verbatim}



\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

Exercicis 15.1: 
\grafLink{Exc-PR-15-1.jpeg.png}

Problemes cap. 15:
\grafLink{Prob-PR-15.png}

\subsection{ConcepTests }

De tipus més calculets, poc interessants: \href{http://mathquest.carroll.edu/libraries/SVC.student.03.07.pdf}{Classroom Voting
  Questions:  Calculus I: 3.7 Implicit Differentiation}

% \begin{itemize}
% \item  {\bf [D]} When you solve for $y'$ in an implicit differentiation problem, you have to solve a quadratic equation
% \begin {enumerate}
% \item always
% \item sometimes
% \item never
% \end {enumerate}

% {\it Answer: (c).} All equations in $x$ and $y$ can be written as a sum of terms of the form $f(x)g(y)$, and hence using implicit differentiation on this term, 
% $$\frac{d}{dx}f(x)g(y)=f^{\prime}(x)g(y)+f(x)\frac{d}{dy}g(y)\cdot y^{\prime}$$ 
% hence no term in the sum has factors of the form $(y^{\prime})^2$. Therefore, we never have to solve a quadratic. 
% Students might be most comfortable answering $(b)$, and if so, ask them first if they ever had to solve a quadratic while using
% implicit differentiation, and then go into more detail to why this does not happen.
% \end{itemize}

\begin{itemize}
\item Considera una funció d'utilitat del tipus $U(K,L)=f(K)+g(L)$. Podem derivar l'expressió de iso-utilitat $U(K,L)=u_0$  (on
  $u_0$ és constant) implícitament respecte $K$, considerant que $L$ depén de $K$ per obtenir $\frac{dK}{dL}$ o bé respecte $L$, considerant que $K$ depén de
  $L$ i obtindrem \(\frac{dL}{dK}\). Aleshores es compleix:
  \begin{itemize}
  \item[o] $\frac{dK}{dL}= 1 /\frac{dL}{dK}$
  \item $\frac{dK}{dL}={-1}/ {\frac{dL}{dK}}$
  \item Cap de les dues
  \end{itemize}
\end{itemize}


\section{T9 Aproximació lineal, diferencial. Aproximacions polinòmiques}

\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

4,5 i 6, 9, 10 del capítol

\subsection{ConcepTests }

\begin{itemize}
\item  {\bf [P]} If $e^{.5}$ is approximated by using the tangent line to the graph of 
$f(x)=e^x$ at (0,1), and we know $f^{\prime}(0)=1$, the approximation is
\begin{enumerate}
\item $.5$
\item $1+e^{.5}$
\item $1+.5$
\end{enumerate}
{\it Answer: (c).} Most students will be able to get a correct formula for the linearization of $e^x$ at $0$, $L(x)=1+x$, but a good number will have difficulties knowing how to use this information to get an approximation for $e^{.5}$.

\item Considerem $f(x)={x}^2$.  Utiiltzant la aproximació lineal de la derivada, quina és la millor aproximació per a ${2.01}^2$?
  \begin{itemize}
  \item $2 + 0.01$
  \item[o] $4 + 0.04$
  \item $4 + 0.02$
  \item $2 + 0.02$
  \end{itemize}

\end{itemize}

\section{T10 Òptims locals. Criteri de la primera i la segona derivada}

\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

\subsection{ConcepTests }

\begin{itemize}
\item  {\bf [P]} An article in the Wall Street Journal's ``Heard on the Street'' 
column (\emph{Money and Investment} August 1, 2001) reported that
investors often look at the ``change in the rate of change'' to help
them ``get into the market before any big rallies.''  Your stock
broker alerts you that the rate of change in a stock's price is
increasing.  As a result you
\begin{enumerate}
\item can conclude the stock's price is decreasing
\item can conclude the stock's price is increasing
\item cannot determine whether the stock's price is increasing or decreasing.
\end{enumerate}

{\it Answer: (c).} If $f$ is the stock price, and we found out that
 $f^{\prime}$ is increasing, this does not lead to any conclusion about 
 the monotonicity of $f$.
 
\item Per una funció diferenciable a tot \(\cal R\), i un punt $x_0\in {\cal R}$, digues quines són certes o falses
  \begin{itemize}
  \item[c] $f'(x_0)=0$ és condició necessària per tal que $x_o$ sigui un òptim local de $f$.
  \item[f] $f'(x_0)=0$ és condició suficient per tal que $x_o$ sigui un òptim local de $f$.
  \item[c] $f'(x_0)\neq 0$ és condició suficient per tal que $x_o$ no sigui un òptim local de $f$.
  \item[c] $x_0$ és un òptim global és condició suficient per $f'(x_0)=0$.
  \end{itemize}

  
\item Per una funció diferenciable dues vegades a tot \(\cal R\), i un punt $x_0\in {\cal R}$, digues quines són certes o falses
  \begin{itemize}
  \item Si $f''(x)>0$ per tot $x$, $f$ no pot tenir un mínim global.
  \item Si $f''(x)>0$ per tot $x$, $f$ pot no tenir un mínim global.
  \item Si $x_0$ és un màxim global de $f$ en \({\cal R}\), $f''(x_0)$ no pot ser zero.
  \end{itemize}
\end{itemize}

\section{T11 Segona derivada. Concavitat i convexitat. Gràfiques}

\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

\subsection{ConcepTests }




\section{T12 Òptims globals i teorema dels valors extrems}

\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

\subsection{ConcepTests }

\begin{itemize}

  \item  {\bf [Q]} You are given a continuous function, for which $f''(x)>0$
for all reals, except at $x=a$.

\textbf{True} or \textbf{False}. $f$ might have an absolute
maximum at $x=a$.

Be prepared to give a counterexample or justify your answer.

{\it Answer: True.} Consider a function with a cusp at $x=a$ and
$f(a)=1$, which remains positive, and decreases to a horizontal
asymptote at $y=0$ . 

\item {\bf [Q]}
\textbf{True} or \textbf{False}. If $f(x)$ is continuous on
a closed interval, then it is enough to look at the points where
$f'(x)=0$ in order to find its absolute maxima and minima. Be
prepared to justify your answer.

{\it Answer: False.} Encourage the students to think of the
different ways in which this would fail -i.e. the endpoints, points where
the derivative does not exist.

\item {\bf [P]}
Let $f(x)$ be a differentiable function on
a closed interval with $x=a$ being one of the endpoints of the
interval. If $f'(a)>0$ then,
\begin{enumerate}
\item $f$ could have either an absolute maximum or an absolute
minimum at $x=a$.
\item $f$ cannot have an absolute maximum at $x=a$.
\item $f$ must have an absolute minimum at $x=a$.
\end{enumerate}

{\it Answer: (a).} Students should think about the
differences between local and absolute extrema. Ask students to draw pictures 
of functions satisfying $f^{\prime}(a)>0$, with $a$ being the left endpoint, and then 
$a$ being the right endpoint.

\item {\bf [Q]}  If f is continuous on $[a,b]$, then
\begin {enumerate} 
\item there must be numbers $m$ and $M$ such that $m\le f(x) \le M $, for $x\in [a,b]$ 
\item there must be local extreme values, but there may or may not be an absolute maximum or absolute minimum value for the function.
\item any absolute max or min would be at either the endpoints of the interval, or at places in the domain where $f^{\prime}(x)=0$
\end{enumerate} 

{\it Answer: (a).}  (c) omits the possibility that the max or min could occur at a point on the graph where $f^{\prime}(x)$ does not exist (such as a cusp), and (b) is false by the Extreme Value Theorem.
\item  {\bf [P]} Let $f$ be a continuous function on the closed interval
$0\leq x\leq 1$. There exists a positive number $A$ so that
the graph of $f$ can be drawn inside the rectangle $0\leq x\leq
1$, $-A\leq y\leq A$.

% \begin{center}
% %\epsfig{file=42_1.eps,height=2.5in,width=3.5in}
% \includegraphics[height=2.5in,width=3.5in]{graphics/42_1.pdf}
% \end{center}

The above statement is:
\begin{enumerate}
\item Always true.
\item Sometimes true.
\item Not enough information.
\end{enumerate}

{\it Answer: (a).} This problem emphasizes one important
application of the EVT which is at the same time a very geometric
result; that we can put a continuous function on a closed interval
inside a box! On a closed interval, $m\le f(x) \le M$, so if we take 
$A=\max \{|m|,|M|\}$, then on this closed interval, $f$ fits in this sort of box.
This idea will ultimately show up in finding bounds for
integrals, so it would be great to introduce this idea at this
point. 



\end{itemize}



\section{T13 Integral indefinida}

\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

\subsection{ConcepTests }

\begin{itemize}
\item {\bf [P]}
Suppose you are told that the acceleration function of an object
is a continuous function $a(t)$. Let's say you are given that
$v(0)=1$.

{\bf True} or \textbf{False}: You can find the position of the
object at any time $t$.

{\it Answer: False.} The goal is to test whether students
understand that they need one initial condition for each
antiderivative they have to find. 

\bigskip

\item {\bf [P]}
Let $f(x)=\frac{1}{x^2}$, and $F(x)$ be an antiderivative of
$f$ with the property $F(1)=1$.
{\bf True} or \textbf{False}. $F(-1)=3$.

{\it Answer: False.} $f(x)$ is not continuous at 0 ! This problem may help
them remember the continuity condition in finding antiderivatives. Students are almost surely going to answer true, and the answer will surprise them. 

\bigskip

\item {\bf [Q]} If $f$ is an antiderivative of $g$, and $g$ is an antiderivative of $h$, then 
\begin {enumerate}
\item $h$ is an antiderivative of $f$
\item $h$ is the second derivative of $f$
\item $h$ is the derivative of $f''$
\end {enumerate}

{\it Answer: (b).} This follows from the definition of antiderivative. This kind of problem makes the connection between antiderivatives and derivatives.

\bigskip

\item {\bf [Q]} {\bf True} or \textbf{False}: An antiderivative of a sum of functions, $f+g$,  is an antiderivative of $f$ plus an antiderivative of $g$.

{\it Answer: True.} This is an easy check based on the text reading.

\bigskip

\item {\bf [P]} {\bf True} or \textbf{False}: An antiderivative of a product  of functions, $fg$,  is an antiderivative of $f$ times an antiderivative of $g$.

{\it Answer: False.} Students should differentiate an antiderivative of $f$ times an antiderivative of $g$, to see that they will not get $fg$ back.

\end{itemize}

\section{T14 Integral definida i càlcul d’àrees}

\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

\subsection{ConcepTests }

\begin{itemize}
\item  {\bf [Q]} \textbf{True} or \textbf{False}. If a piece of string has
been chopped into $n$ small pieces and the $i^{th}$ piece is
$\Delta x_i$ inches long, then the total length of the string is
exactly $\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\Delta x_i}$.

{\it Answer: True.} This problem helps students to use the
summation notation to represent physical quantities. It also gets
the students to distinguish between the estimating procedure of a
Riemann Sum versus cases in which we can have an exact value.

\bigskip

\item {\bf [P]}
You want to estimate the area underneath the graph of a positive
function by using four rectangles of equal width. The rectangles
that must give the best estimate of this area are those with
height obtained from the:

\begin{enumerate}
\item Left endpoints
\item Midpoints
\item Right endpoints
\item Not enough information
\end{enumerate}

{\it Answer: (d).} Students often hold onto the idea that the
midpoint estimate is the best. With this example the instructor
can point out that there are cases in which it does not work as
well as some of the other height choices. A specific function
which has a long thin spike at the midpoint is a good
counterexample. 

\bigskip

\item {\bf [P]} Suppose you are slicing an $11$ inch long carrot REALLY thin
from the greens end to the tip of the root.  If each slice has a
circular cross section $f(x)=\pi (r(x))^2$ for each $x$ between $0$ and
$11$, and we make our cuts at $x_1$, $x_2$, $x_3$, ... , $x_n$, then a good approximation 
for the volume of the carrot is
\begin{enumerate}
\item $\sum_{i=1}^n f(x_i) x_i$
\item $\sum_{i=1}^n [f(x_{i+1})-f(x_i)] x_i$
\item $\sum_{i=1}^n f(x_i) [x_{i+1}-x_i]$
\end{enumerate}

{\it Answer: (c).} This is a quick application of the area approximations in this 
section. Once students understand the set up of the problem, the right answer should follow 
immediately from the text reading.
\item  {\bf [P]} Read the following four statements and choose the correct
answer below.

If $f$ is continuous on  the interval $[a,b]$, then:
\renewcommand{\theenumii}{\roman{enumii}}
\begin{enumerate}
\item $\int_a^b f(x)dx$ is the area bounded by the graph of $f$, the
$x$-axis and the lines $x=a$ and $x=b$
\item $\int_a^b f(x)dx$  is a number
\item $\int_a^b f(x)dx$  is an antiderivative of $f(x)$
\item $\int_a^b f(x)dx$ may not exist
\end {enumerate}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\begin{enumerate}
\item (ii) only
\item (i) and (ii) only
\item (i) and (iii) only
\item (iv) only
\end{enumerate}

{\it Answer: (a).} This problem attempts to clarify most of the
misconceptions that students have about definite integrals, and to
help them move away from the idea that they always represent the
area under a curve. 

\bigskip

\item {\bf [P]} Water is pouring out of a pipe at the rate of $f(t)$
gallons/minute.  You collect the water that flows from the pipe
between $t=2$ and $t=4$.  The amount of water you collect can be
represented by:
\begin{enumerate}
\item $\int_2^4 f(x)dx$
\item $f(4)-f(2)$
\item $(4-2)f(4)$
\item the average of $f(4)$ and $f(2)$ times the amount of time that
elapsed
\end{enumerate}

{\it Answer: (a).} This question might also help students see
the definite integral as total change rather than the standard
area interpretation. At the same time it differentiates it from
averages. 

{\bf The following 2 problems to be used in a sequence:}

\item \textbf{True} or \textbf{False}. If $\int f(x) \, dx = \int g(x) \, dx$, then $f(x)=g(x).$

{\it Answer: True.} See below

\bigskip 

\item \textbf{True} or \textbf{False}. If $f'(x)=g'(x)$, then $f(x) = g(x)$.

{\it Answer: False.} As students often get confused in the
mechanics of the process of going back and forth between
functions, their derivatives and antiderivatives, a discussion
using the above problem can help them clarify their
misunderstandings. 

\bigskip

\item {\bf [P]} Suppose the function $f(t)$ is continuous and always
positive. If $G$ is an antiderivative of $f$, then we know that
$G$:
\begin{enumerate}
\item is always positive.
\item is sometimes positive and sometimes negative.
\item is always increasing.
\item There is not enough information to conclude any of the
above.
\end{enumerate}

{\it Answer: (c).} $f$ is the derivative of $G$, thus $f>0$ implies $G^{\prime}>0$, 
and therefore $G$ is increasing. This is to demonstrate to students that they
can apply the Increasing/Decreasing Test outside the context of
problems like those in Chapter 4. Note that here we are just
referring to the antiderivative of $f$. (a) may be a popular answer 
since we think of an integral of a positive function as "adding" positive small pieces. 
But the choice between (a) or (b) for a particular antiderivative $G$, depends on the constant.

\item  {\bf [Q]}
\textbf{True} or \textbf{False}. If $f$ is continuous on the interval
$[a,b]$, $\frac{d}{dx}\left( \int_a^b f(x)dx\right)=f(x)$.

{\it Answer: False.} Students often do not realize that definite
integrals evaluated at constant endpoints $a$ and $b$ are constant, and in
order to apply the FTC one must have one at least one of the
endpoints as a variable. Note that if $a$ and/or $b$ were defined as functions of $x$, then the answer would be {\it True}.

\bigskip

\item {\bf [P]} Below is the graph of a function $f$.

\begin{center}
%\epsfig{file=areaint.eps,height=2in,width=3in}
\includegraphics[height=2in,width=3in]{figures/areaint.pdf}
\end{center}

Let $\displaystyle{g(x)=\int_0^x f(t) \, dt.}$ Then for $0 < x <
2$, $g(x)$ is
\begin{enumerate}
\item increasing and concave up.
\item increasing and concave down.
\item decreasing and concave up.
\item decreasing and concave down.
\end{enumerate}

{\it Answer: (b).} This problem can help students realize that
an integral of this form is a specific function (not a general
antiderivative), and the integrand is its derivative. Students can induce information about the concavity of $g$ just like they
normally would with any other function, only that this time they
have to look at $f$. 

\bigskip

\item {\bf [P]} Below is the graph of a function $f$.

\begin{center}
%\epsfig{file=areaint.eps,height=2in,width=3in}
\includegraphics[height=2in,width=3in]{figures/areaint.pdf}
\end{center}

Let $\displaystyle{g(x)=\int_0^x f(t) \, dt.}$ Then 
\begin {enumerate}
\item $g(0)=0$, $g^{\prime}(0)=0$ and $g^{\prime}(2)=0$
\item $g(0)=0$, $g^{\prime}(0)=4$ and $g^{\prime}(2)=0$
\item $g(0)=1$, $g^{\prime}(0)=0$ and $g^{\prime}(2)=1$
\item $g(0)=0$, $g^{\prime}(0)=0$ and $g^{\prime}(2)=1$
\end{enumerate}

{\it Answer: (b).} $g(0)=0$, $g^{\prime}(0)=f(0)=4$, and $g^{\prime}(2)=f(2)=0$.

\end{itemize}


\section{NO T15 Aplicacions de la integral}

\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

\subsection{ConcepTests }

\section{T15 Vectors a $R^n$. Representació. Operacions. Combinacions lineals}

\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

\subsection{ConcepTests }

\begin{itemize}
\item Si tenim $\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3}$ vectors no nuls de ${\cal R}^3$ i sabem que $\vec{u_1}$ és combinació lineal
  dels altres dos amb $\vec{u_1}=\lambda \vec{u_2}+\mu \vec{u_3}$, llavors
  \begin{itemize}
  \item Podem assegurar que $\vec{u_2}$ és CL dels altres dos.
  \item[o] Només podem assegurar que  $\vec{u_2}$ és CL dels altres dos si $\lambda \neq 0$
  \item Només podem assegurar que  $\vec{u_2}$ és CL dels altres dos si $\lambda$ i $\mu$ són diferents de zero.
  \end{itemize}
  
\item Si tenim $\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3}, \vec{u_4}$ vectors no nuls de ${\cal R}^3$ i sabem que $\vec{u_1}$ és combinació lineal
  dels altres tres amb $\vec{u_1}=\lambda_2 \vec{u_2}+\lambda_3 \vec{u_3}+ \lambda_4\vec{u_4}$, llavors
  \begin{itemize}
  \item[x] Podem assegurar que $\vec{u_2}$ és CL dels altres tres
  \item Només podem assegurar que  $\vec{u_2}$ és CL dels altres tres si $\lambda_2\neq 0$
  \item Només podem assegurar que  $\vec{u_2}$ és CL dels altres tres si totes les $\lambda$ són diferents de zero.
  \item Pot ser que $\vec{u_2}$ no sigui CL dels altres tres.
  \end{itemize}
  
\item Segons les propietats de les operacions amb vectors, $(\lambda + \mu)(\vec{u}+ \vec{v})$ és igual a
  \begin{itemize}
  \item $\lambda(\vec{u}+ \vec{v})+ \mu)(\vec{u}+ \vec{v})$
  \item $(\lambda + \mu)\vec{u}+ (\lambda + \mu) \vec{v}$
  \item $\lambda \vec{u}+\lambda \vec{v}+ \mu\vec{u}+ \mu\vec{v}$
  \item Totes les anteriors són certes.
  \item Cap de les anteriors és certa.
  \end{itemize}
\end{itemize}



\section{T16 Independència lineal. Producte escalar, ortogonalitat}

\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

\subsection{ConcepTests }


\newcommand{\vectres}[3]{\left(\begin{array}{lll} #1 \\ #2 \\ #3\end{array}\right)}
\newcommand{\usqdos}{1/\sqrt{2}}

\begin{itemize}
\item Quina dels següents trios de vectors són una base ortogonal de ${\cal R}^3$?
  \begin{itemize}
  \item $\vectres{1}{-1}{0}, \vectres{1}{1}{0}, \vectres{0}{0}{1}$
 \item $\vectres{\usqdos}{\usqdos}{0}, \vectres{0}{1}{0}, \vectres{0}{0}{1}$
  \item $\vectres{\usqdos}{\usqdos}{0}, \vectres{\usqdos}{-\usqdos}{0}$
  \item Tots tres
  \item Cap dels tres
 \end{itemize}
\item Siguin $\vec{u}, \vec{v}$ vector ortonormals de ${\cal R}^3$, llavors, $||\vec{u}+ \vec{v}||$ és
  \begin{itemize}
  \item 2
  \item[o] $\sqrt 2$
  \item 1
  \item no es pot saber del cert
  \end{itemize}
\end{itemize}

\section{T17 Matrius. Transposada. Matrius simètriques. Potència de matrius}

\subsubsection{Càlcul matricial amb R}

Unes notes breus sobre l'ús en R 
\href{./matrius/matrius-guia17-mates1-21.html}{en versió html} o \href{./matrius/matrius-guia17-mates1-21.pdf}{en versió pdf} 

\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

\subsection{ConcepTests }

\begin{itemize}
\item Donada A (matriu 3x2) i B (matriu 2x3)
  \begin{itemize}
  \item[0] Mai pot ser $AB=BA$
  \item  $AB=BA$ si són son commutatives
  \item  $AB=BA$ en alguns casos
  \item  $A^2 = B^2$
  \end{itemize}
  
\item La matriu $A$ tal que $A (a,b,c)' = (c,b,a)'$ per tots $a,b,c\in\cal R$ és
  \begin{itemize}
  \item[o] $\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1\\ 0& 1 & 0 \\ 1& 0 & 0 \\
		\end{array}\right)$
   \item $\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 \\
		\end{array}\right)$
  \item $\left(\begin{array}{lll} -1 & 0 & 1\\ 0& -1 & 0 \\ 0& 0 & -1 \\
		\end{array}\right)$
            \item Cap de les anteriors
  \end{itemize}
\item Suposa que $A,B$ són matrius quadrades invertibles. Quina de les següents igualtats es compleix sempre?
  \begin{itemize}
  \item[o] $((AB)^{-1})' = (A^{-1})' (B^{-1})'$
  \item $((AB)^{-1})' = (B^{-1})' (A^{-1})'$
  \item $((AB)^{-1})' = B^{-1} A^{-1} B' A'$
  \item $((AB)^{-1})' = B' A'  B^{-1} A^{-1}$
  \item Cap de les altres
  \end{itemize}
\item Suposa que $A,B$ són matrius quadrades ortogonals. Quina de les següents és també ortogonal?
  \begin{itemize}
  \item[o] $\left(\begin{array}{ll} A & 0 \\ 0& B\end{array}\right)$
  \item $\left(\begin{array}{ll} A & I \\ I& B\end{array}\right)$
  \item $A^2-B^2$
  \item Cap de les altres
  \end{itemize}
\end{itemize}

\section{T18 Determinants. Determinants i dependència lineal. Producte vectorial}

\subsubsection{Càlcul de determinants amb R}

Unes notes breus sobre l'ús en R 
\href{./matrius/matrius-guia18-mates1-21.html}{en versió html} o \href{./matrius/matrius-guia18-mates1-21.pdf}{en versió pdf} 

\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

\subsection{ConcepTests }

\begin{itemize}
\item Formem una matriu $n\times n$ amb els nombres $1\dots n^2$ consecutius disposats en files.
El determinant de la matriu:\\
== és zero\\
= és una potència de $n$\\
= depén de $n$\\
= és $n!/2$

\emph{Resposta}: És zero: si restem la fila 2 menys la fila 1 tenim tots els elements iguals a n, la posem enlloc de la
primera. Fem el mateix a la segona: fila 3- fila 2, també tots iguals a n. Queden dues files iguals, el determinant és zero.

\item Si tots els nombres d'una matriu quadrada són enters positius el determinant pot ser
  \begin{itemize}
  \item un enter positiu
  \item un enter no negatiu
  \item[o] qualsevol enter
  \item qualsevol racional
  \item qualsevol nombre real
  \end{itemize}
\item Sigui $A$ una matriu quadrada d'ordre $n$ i $B=kA$ per alguna constant $k$. Llavors el determinant de $B$, $|B|$, és igual
  a:
  \begin{itemize}
  \item $k |A|$
  \item[o] $K^n |A|$
  \item $\frac{1}{k} |A|$
  \item  $\frac{1}{k^n} |A|$
  \item $k+|A|$
  \item $k^n +|A|$
  \item no es pot saber amb aquesta informació
  \end{itemize}
\item Sigui $A$ una matriu quadrada d'ordre $|A^2|=1$. Llavors, el determinant de $A$ és
  \begin{itemize}
  \item 1
  \item 0 o 1
  \item -1, 0, o 1
  \item[o] -1 o 1
  \item pot ser qualsevol nombre positiu.
  \item pot ser qualsevol nombre real. 
  \end{itemize}
\item Podem que $A_{ij}$ denoti l'adjunt del terme $a_{ij}$ d'una matriu quadrada d'ordre $n$. Quina és la relació entre
  $|A_{ij}|$ i $|A_{ji}|$ ?
  \begin{itemize}
  \item Són sempre iguals
  \item $|A_{ij}| = -|A_{ji}|$
  \item[o] Són iguals si la matriu és simètrica.
  \item Si $|A_{ij}|=0$, aleshores  $|A_{ji}|=0$.
  \item Els seu producte és igual a 1.
  \item Cap de les altres és necessàriament certa.
  \end{itemize}
\end{itemize}

\section{T19 Inversa. Matrius ortogonals}

\subsubsection{Matrius inverses i ortogonals amb R}

Unes notes breus sobre l'ús en R 
\href{./matrius/matrius-guia19-mates1-21.html}{en versió html} o \href{./matrius/matrius-guia19-mates1-21.pdf}{en versió pdf} 



\subsection{Excercicis Pemb-Rau}

\subsection{ConcepTests }

\begin{itemize}
\item El determinant d’una matriu ortogonal és: ( i perquè?)\\
= 1\\
= 0\\
== 1 ó -1\\
= pot ser qualsevol valor diferent de 0

\emph{Resposta}: $|A|=|A^T|$ i $|A\cdot A^T|=|I|=1$, per tant $|A|^2=1$.
\item Tria la corecta. Siguin $A, b$ matrius quadrades invertibles. Aleshores la inversa de $ABA^{-1}$ és
  \begin{itemize}
  \item $A^{-1}B^{-1}A$
  \item[]x $AB^{-1}A^{-1}$
  \item $A B A^{-1}$
  \item $A^{-1}BA$
  \item la matriu pot no ser invertible
  \end{itemize}
  
\item Considera les tres proposicions següents que tracten d'una matriu quadrada invertible $A$.
  \begin{itemize}
  \item[(1)] $A=A^{-1}$
  \item[(2)] $AA=I$
  \item[(1)] $A^{-1}A^{-1}=I$
  \end{itemize}
  Tria la correcta:
  \begin{itemize}
  \item (1) i (2) són equivalents pero (3) no.
  \item (1) i (3) són equivalents pero (2) no.
  \item (2) i (3) són equivalents pero (1) no.
  \item[x] Les tres són equivalents
  \item No tenen res a veure entre sí
  \end{itemize}
\item Suposa que $A$ és una matiur quadrada d'ordre $n$ amb elements entres i $|A|=1$. Què pots dir dels elements de $A^{-1}$?
  \begin{itemize}
  \item[o] Han de ser tots enters
  \item Poden ser racionals i algun no enter
  \item Pode ser qualsevol nombre real
  \item $A^{-1}$ pot no existir
  \item La resposta depén de si $n$ és parell o senar
  \end{itemize}

\end{itemize}



\end{document}

\message{ !name(propostes-mates1-21.tex) !offset(-1801) }
