Definició i notacions

Calcular el determinant d’una matriu quadrada en R és ben fàcil, fem servir la funció det().

A <- matrix(c(2, 0, 3, 4, 7, 5,  5, 4, 9), ncol = 3)
A
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    2    4    5
[2,]    0    7    4
[3,]    3    5    9
det(A)
[1] 29

Propietats dels determinants

Fem servir aquesta matriu

A <- matrix(sample(-12:12), nrow = 5) # són els nombres des de -12 fins a 12 reordenats aleatòriament
A
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]  -12   12   10    3   -2
[2,]    0    4   -8   -6   11
[3,]   -9    8  -10    6   -3
[4,]    2   -7    9   -5   -4
[5,]    5    7    1   -1  -11
det(A)
[1] 288092
det(t(A)) # Propietat D2: el determinant de la transposada és igual al de la original
[1] 288092

Propietat D3, la comprovem en un cas: la matriu \(B\) és com la \(A\) però la fila 3 està multiplicada per -2.

B <- A
B[3,] <- -2 * B[3,]
B
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]  -12   12   10    3   -2
[2,]    0    4   -8   -6   11
[3,]   18  -16   20  -12    6
[4,]    2   -7    9   -5   -4
[5,]    5    7    1   -1  -11
det(B)
[1] -576184
# Propietat D4, el determinant de 2A és $2^5$ vegades el de A
det(2*A)
[1] 9218944
(2^5 * det(A))
[1] 9218944

Propietat D5:

Per intercanviar dues files demanem les files 2,1,3,4,5 i totes les columnes:

A2 <- A[c(2,1,3,4,5),]
A2
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    0    4   -8   -6   11
[2,]  -12   12   10    3   -2
[3,]   -9    8  -10    6   -3
[4,]    2   -7    9   -5   -4
[5,]    5    7    1   -1  -11
det(A2)
[1] -288092

Propietat D8:

Per substituir la columna 3 per la suma d’ella amb -2 vegades la columna 4:

A[,3] <- A[,3] - 2 * A[,4]
A
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]  -12   12    4    3   -2
[2,]    0    4    4   -6   11
[3,]   -9    8  -22    6   -3
[4,]    2   -7   19   -5   -4
[5,]    5    7    3   -1  -11
det(A) # el determinant no ha canviat
[1] 288092

Propietat D9: El determinant del producte és el producte de determinants

A <- matrix(sample(-12:12), nrow = 5) # són els nombres des de -12 fins a 12 reordenats aleatòriament
B <- matrix(sample(-12:12), nrow = 5) # són els nombres des de -12 fins a 12 reordenats aleatòriament
det(A%*%B)
[1] -21333815456
det(A)*det(B)
[1] -21333815456

Determinants i dependència lineal

Si tenim dos vectors del pla \({\cal R}^2\) o tres vectors de \({\cal R}^3\) podem comprobar la seva independència lineal formant una matriu amb els vectors i calculant-ne el determinant. Aquí ho fem a vectors de \({\cal R}^4\) i fem servir la funció cbin() que serveix per juntar-los en columnes (la funció rbind() fa el mateix però en files).

v1 <- c(1, 0, -1, 1)
v2 <- c(-1, 1, 0, 1)
v3 <- c(0, -1, -1/2, 1/2)
v4 <- c(1/3, -3, 1/4, 0)
M <- cbind(v1,v2,v3,v4)
M
     v1 v2   v3         v4
[1,]  1 -1  0.0  0.3333333
[2,]  0  1 -1.0 -3.0000000
[3,] -1  0 -0.5  0.2500000
[4,]  1  1  0.5  0.0000000
round(M,2) # arrodonim a dos decimals
     v1 v2   v3    v4
[1,]  1 -1  0.0  0.33
[2,]  0  1 -1.0 -3.00
[3,] -1  0 -0.5  0.25
[4,]  1  1  0.5  0.00
det(M)
[1] -2.458333

Producte vectorial

Quan parlem de producte de vectors hem d’anar en compte. Fixa’t en els diferents productes:

v1 <- c(1, 0, -1, 1)
v2 <- c(-1, 1, 1, 1)
v1 * v2 # és el producte terme a terme
[1] -1  0 -1  1
v1 %*% v2 # fem servir el producte matricial i obtenim el que en diem producte escalar
     [,1]
[1,]   -1
sum(v1*v2) # millor així, que ens ho torna com a un sol nombre
[1] -1

El producte vectorial que usem en el curs no està definit en R, però es pot definir (o utilitzar el package pracma que té moltes funcions útils per a l’àlgebra lineal i de matrius)

producteVectorial <- function (x, y){
  if (is.numeric(x) && is.numeric(y))
    if (is.vector(x) && is.vector(y)) {
      if (length(x) == length(y) && length(x) == 3) {
        xxy <- c(x[2] * y[3] - x[3] * y[2], x[3] * y[1] - 
                   x[1] * y[3], x[1] * y[2] - x[2] * y[1])
        return(xxy)
      }
    }
  stop("x i y han de ser vector numèrics de llargada 3")
    }
u1 <- c(1, 0, -1)
u2 <- c(-1, 1, 1)
producteVectorial(u1,u2)
[1] 1 0 1

I si volem normalitzar el resultat, caldrà dividir-lo per la seva norma:

v <- producteVectorial(u1,u2)
v / sqrt(sum(v * v))
[1] 0.7071068 0.0000000 0.7071068

Un altre exemple:

a <- c(1, 2, 3)
b <- c(1, -3, 3)
v <- producteVectorial(a,b)
nv <- sqrt(sum(v*v))
v/nv
[1]  0.9486833  0.0000000 -0.3162278

Exercicis

En el pla, l’àrea determinada per dos vectors coincideix amb el determinant.

plot(0, type="n", xlim = c(0,10), ylim = c(0,10))
u = c(2,1)
v = c(2,7)
arrows(0,0,u[1],u[2])
arrows(0,0,v[1],v[2])
lines(rbind(u, u+v), lty=2)
lines(rbind(v, u+v), lty=2)

mat <- rbind(u,v) # juntem per files els dos vectors
mat
  [,1] [,2]
u    2    1
v    2    7
det(mat)
[1] 12

Per demostrar-ho, tanquem el paralelogram en un rectangle i restem les àrees dels triangles que sobren.

plot(0, type="n", xlim = c(0,10), ylim = c(0,10))
u = c(2,1)
v = c(2,7)
arrows(0,0,u[1],u[2])
arrows(0,0,v[1],v[2])
lines(rbind(u, u+v), lty="dashed")
lines(rbind(v, u+v), lty="dashed")

uv = u+v
polygon(x=c(0,uv[1],uv[1],0), y=c(0,0,uv[2], uv[2]))
lines(rbind(u, c(uv[1],0)), lty="dotted")
lines(rbind(v, c(0,uv[2])), lty="dotted")

Qüestions avançades de computació

Els programes de computació numèrica sovint treballen amb els nombres “en coma flotant” (floating point), és a dir, en la forma mantisa * 10^exponent, on la mantisa és un nombre entre 0 i 1, i l’exponent pot ser molt gran en valor absolut, positiu o negatiu. (De fet això dins l’ordinador es fa en sistema binari, però no entrem per aquí ara).

Així, la representació de \(1/3\), per exemple, serà \(0.333333\times 10^0\), i l’import total dels ingressos de l’estat espanyol al 2021, segons els pressupostos generals de l’estat (157.114.530,88 euros) estaria representat per \(0.15711453088\times 10^9\).

Llavors, molts dels algoritmes de càlcul, com per exemple el del determinant d’una matriu quadrada tenen versions més eficients que fan servir no els nombres enters sino nombres amb coma flotant, i per tant aproximats i amb un cert marge d’error, molt petit.

Aixó explica que passin coses com el que reflectim aquí:

A
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]  -11   -2   11    8   -8
[2,]   -1   -4   -6   -7   12
[3,]   -3    5    3    9   10
[4,]    2    0    7   -9   -5
[5,]  -12    6    1  -10    4
# Segons la propietat D4, el determinant de 2A és $2^5$ vegades el de A
x1 <- det(2*A)
x1
[1] -12828512
x2 <- (2^5 * det(A))
x2
[1] -12828512

Per tant, x1 i x2 són iguals. Són iguals?

x1 == x2
[1] FALSE
x1 - x2  # quina és la diferència?
[1] -5.587935e-09

Si el càlcul del determinant es fes de manera exacta amb nombres enters, els dos nombres serien exactament iguals. Però R treballa amb coma flotant pràcticament sempre, i quan es tracta de matrius, sempre. Llavors fent els càlculs amb coma flotant apareixen petits errors. En aquest cas hi ha una diferència, molt petita, sí, però no és zero.

Si t’interessa el tema, potser (https://ca.wikipedia.org/wiki/Coma_flotant) et pot ajudar a entendre-ho millor.