xxPropostes de temes sobre el llengutatge matemtic (pel curs 2021/22)

Propostes de temes sobre el llengutatge matemxtic (pel curs 2021/22)

2xde juny dex2021

(Enllax a aquest document en html) (Enllax a la versix pdf d’aquest document) (Enllax a la font LaTeX) (Enllax als fitxers de les figures) (Enllax al fitxer de definicions latex)

xndex

1 Introduccix 2 T0 El llenguatge de les Matemxtiques I xx2.0.1 Guia 01 Llenguatge dels conjunts xx2.0.2 Quizz pre-classe 01 xx2.0.3 Clickers 01 xx2.0.4 Guia 02 Lxgica de les proposicions xx2.0.5 Quizz pre-classe 02 xx2.0.6 Clickers 02 xx2.0.7 Exercicis Llista xx2.0.8 Exercicis extra 3 T0B El llenguatge de les matemxtiques II xx3.0.1 Guia 0B1: Tots o algun, els quantificadors lxgics xx3.0.2 Quizz pre-classe 0B1 xx3.0.3 Guia 0B2 La demostracix matemxtica xx3.0.4 Quizz pre-classe 0B2 xx3.0.5 Exercicis Llista xx3.0.6 Exercicis extra 1 Introduccix

Aquest document inclou una proposta completa del que podria ser una nova primera setmana dedicada a una petita introduccix al llenguatge formal de les matemxtiques i una possible segona setmana per a mates II o III.

La seccix T0 correspondria a una primera setmana de mates I, la seccix T0B a la possible segona setmana. Inclouen propostes de guies estructurades en slides, qxestionaris breus pre-classe per desprxs de la primera lectura de la guia i llistes d’exercicis.

2 T0 El llenguatge de les Matemxtiques I

Es tracta de fer una lleu introduccix al llenguatge formal, limitat a l’xlgebra de conjunts i la de Boole elemental. Posem davant els conjunts perqux probablement els sxn mxs familiars i els poden ajudar a entrar en el mxs abstracta de la lxgica formal, que tractem nomxs somerament, sense entrar en taules de veritat, demostracions, etc. que poden ser objecte de tractament a mates II o III.

Referxncies:

Pemb-Rau Cap. 3.1

S&H 1.7 Teorxa de conjuntos

S&H 1.5 Algunos aspectos de lxgica

2.0.1 Guia 01 Llenguatge dels conjunts

Definicions

Un conjunt xs una col·leccix d’objectes considerada com una sola entitat.

Dels objectes en diem que sxn els membres o elements del conjunt.

Exemples:

Els estudiants matriculats als graus de la UPF el curs 2021/22.

Els treballadors d’una empresa

Els nombres naturals parells mxs petits que 10.

Els conjunts es poden descriure per enumeracix o a travxs d’una propietat que els seus elements o membres han de satisfer. El darrer exemple el podem descriure:

. E = {2, 4, 6, 8} = {n ∈ N : n < 10}

El signe ∈ es llegeix “pertany a” i l’usem per afirmar que un element forma part d’un conjunt. Si no en forma part, escriurem a ∉A.

Subconjunts

Diem que un conjunt A xs subconjunt d’un conjunt B si tots els elements de A tambx ho sxn de B. Llavors escribim A ⊂ B.

Per exemple, si A xs el conjunt dels treballadors d’una empresa i B xs el conjunt dels administratius de l’empresa, B ⊂ A.

Sempre es compleix que A ⊂ A. De fet, dos conjunts A i B sxn iguals, A = B si i nomxs si A ⊂ B i B ⊂ A.

El conjunt especial ∅ xs el que no tx cap element, per exemple. el conjunt de les vaques que poden volar.

Operacions amb conjunts

11Unix de A i B11A ∪ B11Els elements que pertanyen almenys a un dels dos
11Interseccix 11A ∩ B11Els elements que pertanyen a tots dos
11Diferxncia 11A\B 11Elements de A que no ho sxn de B

11

Els diagrames de Venn sxn xtils per visualitzar aixx. PIC

Exemple: Si A = {a, b, c, d} i B = {c, d, e, f, g}, llavors

A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g}

A ∩ B = {c, d}

A\B = {a, b}

B\A = {e, f, g}

Es compleixen les segxents propietats, que podem comprovar amb els corresponents diagrames de Venn:

O1 A ∪ A = A, A ∩ A = A

O2 A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅

O3 A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A O2 (A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. Ho escriurem A ∪ B ∪ C O3 (A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. Ho escriurem A ∩ B ∩ C O4 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) O5 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Complementari

En el cas que tractem amb conjunts inclosos en un cert univers, podem parlar del conjunt complementari, el que estx format pels elements que no hi pertanyen. Indiquem amb A′ o A^{c} el complementari de A. Es compleixen les segxents propietats, que podem comprovar amb els corresponents diagrames de Venn: C1 A′′ = A C2 (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ C3 (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ Podeu practicar amb diagrames de Venn de conjunts i els seus complementaris a https://www.geogebra.org/m/KSuUb2TR. Per exemple, aixx es veu (A ∪ B)′: PIC

2.0.2 Quizz pre-classe 01

Veritat o fals?

a ∈ A vol dir que a xs un subconjunt de A a ∉{a, b, c, d} A ∪ B xs la interseccix de A i B

Si A xs el conjunt d’europeus, B el de catalans i C el de barcelonins, quina xs correcta? A ⊂ C

C ⊂ A
B ⊂ C

2.0.3 Clickers 01

El conjunt representat a la figura PIC correspon a

A ∪ (B ∩ C)

A\(B ∪ C)

A ∩ (B ∪ C)

(B ∪ C)\A

Siguin A el conjunt d’empleats d’una empresa, B el conjunt de les dones empleades de l’empresa, C el conjunt de directius de l’empresa, D el conjunt d’empleats de la empresa que cobren mxs de mil euros al mes. Digues si sxn veritables o no les segxents:

A ⊂ B

B ⊂ D

C ⊂ D

A\B xs el conjunt d’homes empleats a l’empresa

B ∩ C xs el conjunt de directives de l’empresa

Recorda que (a, b) indica l’interval dels nombres reals que estan entre a i b, i que si posem (a, b] indiquem que b tambx estx inclxs en el conjunt. Digues si sxn veritables o no les segxents:

(2, 3) ⊂ (2, 6)

(2, 5) ∩ [3, 6) = (3, 5)

(2, 5) ∪ (5, 6) = (2, 6)

2.0.4 Guia 02 Lxgica de les proposicions

Proposicions

Una proposicix o enunciat xs una afirmacix que pot ser veritable o falsa. Per exemple “2 + 2 = 5”, o “x = 2 xs solucix de x^{2} − 4”.

No considerem que “El color vermell xs bonic” sigui una proposicix. Sovint expressem una proposicix amb una lletra, per exemple p = “5 xs un nombre primer”.

Operacions amb proposicions

11               11          11xs veritat quan
11Negacix de p 11¬p 11p xs falsa
11Disjuncix de p i q 11p x q, p ∨ q 11Almenys una de les dues xs veritat
11Conjuncix de p i q11p i q, p ∧ q 11Totes dues sxn veritat
11Implicacix  11p } q  11Sempre que p xs veritat, q tambx ho xs
11Equivalxncia  11p / q  11Sempre que una de les dues xs veritat, l’altra tambx

11

Exemples:

La negacix de x < 2 xs x ≥ 2.

L’accix A ha guanyat valor x L’accix B ha perdut valor (a la borsa avui) 3 xs primer i 25 xs divisible per 5 x^{2} = 2 \} x = \sqrt{2} a < b / b > a

Quan tenim p } q, diem que:

p xs l’antecedent i q xs el conseqxent.

p xs condicix suficient per q q xs condicix necessxria per p

Exemples:

Ser catalx xs condicix suficient per ser europeu. Ser espanyol xs condicix necessxria per ser catalx. x = 2 xs condicix suficient per x^{2} = 4. x > 2 xs condicix necessxria per x > 5.

Regles lxgiques

Per a p, q proposicions, L1 ¬(¬p) xs equivalent a p L2 ¬(p ∧ q) xs equivalent a ¬p ∨ ¬q L3 ¬(p ∨ q) xs equivalent a ¬p ∧ ¬q L4 p } q xs equivalent a ¬q } ¬p Exemples:

El contrari de “Pere no xs estudiant” xs “Pere xs estudiant”. La negacix de “Joan anirx a votar” x “Irene anirx a votar” xs “Joan no anirx a votar” i “Irene no anirx a votar”. El contrari de “Emma i Laia sxn esportistes” xs “Emma no xs esportista” x “Laia no xs esportista”. La contrxria de 2 < x < 5 xs x ≤ 2 o x ≥ 5 Si x > 3, llavors x > 1, xs equivalent a “Si x ≤ 1, llavors x ≤ 3”. “Si plou, porto paraigxes”, xs equivalent a “Si no porto paraigxes, no plou”. “En aquesta empresa, si ets dona no pertanys a la direccix” xs equivalent a “Si pertany a la direccix, no xs dona”.

Observem el paral·lelisme entre: 11Negacix i complementari d’un conjunt:11x ∈ A′ equival a ¬(x ∈ A). 11Disjuncix i unix de conjunts:  11x ∈ A ∪ B equival a x ∈ A ∨ x ∈ B. 11Conjuncix i interseccix:  11x ∈ A ∩ B equival a x ∈ A ∧ x ∈ B. 11Implicacix i inclusix:  11A ⊂ B equival a x ∈ A } x ∈ B.

2.0.5 Quizz pre-classe 02

Cert o fals? Una proposicix ha de ser sempre veritable. Cert o fals? L.La lluna xs una estrella”no pot ser una proposicix. 3 = 5 no xs una proposicix Quines de les segxents frases sxn proposicions:

4^{500} > 5^{400} xs difxcil trobar les solucions de 2x^{3} − 3x^{2} + 5x − 8 = 0 7238 + 8327 2021 = 43 ∗ 47 + 1 Hi ha un nombre primer mxs gran que 100^{100}

Marca les correctes:

Ser un hipopxtam xs CN per ser un animal Ser bomber xs CS per ser persona Ser un cotxe xs CN per ser una mxquina Tenir 18 anys xs CN per traure’s el carnet de conduir.

La negacix de “Plou i fa sol” xs No plou i no fa sol Ni plou ni fa sol No plou o no fa sol Plou perx no fa sol Quan plou de vegades fa sol

Marca les correctes. Si diem que p implica q p xs condicix necessxria per q p xs condicix suficient per q q xs condicix necessxria per p

q xs condicix suficient per p Substitueix l’espai en blanc per “condicix necessxria”, “condicix suficient”, o “condicix necessxria i suficient”.

2x + 5 > 13 xs xxxxxxxxxxxx per x ≥ 0 x ≥ 50 xs xxxxxxxxxxxx per x ≥ 0 x ≥ 0 xs xxxxxxxxxxxx per x ≥ 4

Substitueix l’espai en blanc per “si”, “nomxs si”, o “si i nomxs si”.

x = \sqrt{4} xxxxxxxxxxxx x = 2 x^{2} > 0 xxxxxxxxxxxx x > 0 x^{2} = 4 xxxxxxxxxxxx x = 2 x^{2} = 4 xxxxxxxxxxxx x = 2 ∨ x = −2 x^{2} < 9 xxxxxxxxxxxx x < 3 x(x^{2} + 1) = 0 xxxxxxxxxxxx x = 0 x(x + 3) xxxxxxxxxxxx x > −3

Per cada proposicix de les segxents, diues quins valors de a fan que sigui veritat.

3 < 4 i a = 12 4 < 3 i a = 12 4 < 3 x a = 12 Si a = 4 × 3, llavors 3 < 4 Si a = 4 × 3, llavors 3 > 4 Si 3 > 4. llavors a = 4 × 3

Mxs clickers sobre logica proposicional bxsica: http://myslu.stlawu.edu/~plock/Math280Clicker/Ma280-1.ppt
A la mateixa pxgina n’hi ha d’altres sobre quantificadors, http://myslu.stlawu.edu/~plock/Math280Clicker/Ma280-3.ppt,

demostracions, etc que podrien ser utils per una setmana de mates II.

2.0.7 Exercicis Llista

Tal com ho hem definit, quan diem P o Q, entenem un “o” inclusiva, xs a dir, si diem que P ∨ Q, estem dient que una de les dues o totes dues sxn certes. De vegades ens interessa expressar una disjuncix excloent, xs a dir que nomxs sigui certa quan una de les dues i no totes dues siguin certes.

Fent servir nomxs les connectives ∨, ∧, ¬, expressa la proposicix: Exactament una de les dues, P o Q sxn veritat.

Com expresses la contrxria de l’anterior amb paraules?

Com expresses aquesta negacix formalment?

Se’n poden traure del S&H 1.7: PIC

2.0.8 Exercicis extra

PIC

3 T0B El llenguatge de les matemxtiques II

Es tracta d’ampliar una mica el que s’ha fet a Matemxtiques I sobre el llenguatge. Allx s’ha tractat el llenguatge dels conjunts i els elements bxsics de la lxgica booleana.

Aqux introduirem els quantificadors universal i existencial amb un repxs de les regles bxsiques dels connectors i en una segona guia alguns elements dels mxtodes de demostracix.

Referxncies:

Pemb-Rau, Cap. 31.1

IB-AnAppr, capxtol 5.

S&H cap. 1.6.

3.0.1 Guia 0B1: Tots o algun, els quantificadors lxgics

Slide 0: Proposicions amb quantificador

Recordem: 11               11          11xs veritat quan 11Negacix de p  11¬p  11p xs falsa 11Disjuncix de p i q 11p x q, p ∨ q 11Almenys una de les dues xs veritat 11Conjuncix de p i q11p i q, p ∧ q 11Totes dues sxn veritat 11Implicacix  11p } q  11Sempre que p xs veritat, q tambx ho xs 11Equivalxncia  11p / q  11Sempre que una de les dues xs veritat, l’altra tambx 11

I recordem encara: 11L111¬(¬p) xs equivalent a p 11L2 11¬(p ∧ q) xs equivalent a ¬p ∨ ¬q 11L3 11¬(p ∨ q) xs equivalent a ¬p ∧ ¬q 11L4 11p } q xs equivalent a ¬q } ¬p 11 Nota: En llenguatge no formal hi ha expressions que poden confondre. Per exemple, en catalx, les expressions “Res no xs gratuxt, tot tx un preu” i “Res xs gratuxt, tot tx un preu” es consideren vxlides i equivalents.

Slide 1: Proposicions amb quantificador

Si tenim un conjunt X i una afirmacix p(x) sobre els seus elements x ∈ X que pot ser veritat o falsa, podem dir

11Escrivim 11Llegim
11∀x ∈ X, p(x) 11Per a tots els x de X, p(x) es compleix
11∃x ∈ X : p(x)11Existeix algxn (almenys un) x de X tal que p(x) es compleix

11

Exemples, per N, el conjunt dels nombres naturals, les segxents sxn veritat:

∀n ∈ N , (n + 1)^{2} = n^{2} + 2n + 1

∃n ∈ N : n^{2} = 16 ∃n ∈ N : n > 16 Existeix algxn mxltiple de 5 que xs parell.

perx les segxents sxn falses:

∀n ∈ N , (n + 1)^{2} = n^{2} + 1

∃n ∈ N : n^{2} = 20 ∃n ∈ N : n > n − 1 Tots els mxltiples de 5 sxn parells. Existeix algxn nombre natural n tal que n − 1 = 2n.

Slide 2: Negacix amb quantificadors

La negacix canvia un quantificador en l’altre.

11El contrari de11 Tot x compleix p(x) 11xs11Algun x no compleix p(x)
11El contrari de 11Algun x compleix p(x)11xs11Tot x no compleix p(x)

11

En versix formal: 11¬ (∀x ∈ X, p(x))11equival a11∃x ∈ X, ¬p(x) 11¬ (∃x ∈ X, p(x)) 11equival a11∀x ∈ X, ¬p(x) 11 Exemples:

El contrari de “Ha plogut tots els dies” xs “Algun dia no ha plogut”. El contrari de “Tots els treballadors cobraran mxs” xs “Algun treballador no cobrarx mxs”.

Exemples en notacix formal:

El contrari de ∀n ∈ N , n^{2} > n xs ∃n ∈ N : n^{2} ≤ n El contrari de ∃n ∈ N : n^{2} < n + 25 xs ∀n ∈ N , n^{2} ≤ n + 25

Exemples (al tanto amb el llenguatge poc formal, pot induir a confusions, sovint va bx formalitzar la proposicix) El contrari de “tots els homes sxn honestos” xs “hi ha algun home que no xs honest”. Aixx ho formalitzem posant H el conjunt de tots els homes, p(h) = L’home h xs honest, i tenim ∀h ∈ H, p(h) i el contrari ∃h ∈ H : ¬p(h). El contrari de “hi ha alguna vaca que pot volar” xs “totes les vaques no poden volar” o “cap vaca pot volar”. El contrari de “tots els europeus sxn espanyols” xs “algun europeu no xs espanyol”. Si neguem que “Algx ha perdut el mxbil”, direm que “Ningx ha perdut el mxbil”, o bx “Tots no han perdut el mxbil”.

Slide 3: Negacix amb quantificadors – 2 En cap cap cap el que cap en aquest cap

Observa que si en una proposicix es combina algun quantificador amb altres connectives, cal anar al tanto! I si a mxs a mxs s’hi barreja el llenguatge no formal, mxs perill!

El contrari de “Per tot x es compleix p(x) ∧ q(x)” serx “Per algun x es compleix ¬p(x) o es compleix ¬q(x)”. El contrari de “Per tot x es compleix p(x) ∨ q(x)” serx “Per algun x es compleix ¬p(x) i es compleix ¬q(x)”.

Exemples El contrari de “tots els treballadors faran festa dissabte i diumenge” xs “algun treballador treballarx dissabte o diumenge”.

El contrari de “Algun pais africx tx la vacuna de Pfizer o la de Moderna” xs “Tots els paxsos africans no tenen la Pfizer i no tenen la Moderna”.

Formalitzem aquest darrer exemple: posem A el conjunt de paxsos africans. p(a) = el paxs a te la Pfizer. q(a) = el paxs a tx la Moderna”. Llavors traduxm:

“Algun pais africx tx la vacuna de Pfizer o la de Moderna” xs ∃a ∈ A : p(a) ∨ q(a)” El contrari xs ∀a ∈ A, ¬p(a) ∧ ¬q(a), xs a dir “Tots els paxsos africans no tenen la Pfizer i no tenen la Moderna”.

Slide 4: Negacix amb quantificadors i implicacions

Si recordem que ¬(p } q) xs equivalent a p ∧ ¬q , podem dir ara:

11El contrari de11Per tot x es compleix p(x) } q(x) 11xs11Per algun x es tx p(x) i ¬q(x)

11

3.0.2 Quizz pre-classe 0B1

Repassem les connectives lxgiques que vem veure anteriorment.

Digues si sxn veritat o no les segxents afirmacions. Per expressar p x q fem servir p ∨ q. Si diem que p x q xs veritat, no pot ser que p i q siguin totes dues veritat. Si diem que p i q xs fals, totes dues p i q han de ser falses. Si diem que p } q xs veritat, llavors q ha de ser veritat.

Quina diries que xs la contrxria de “Totes les meves amigues tenen moto o cotxe”?

Totes les meves amigues no tenen moto.

Totes les meves amigues no tenen moto ni cotxe.

Alguna amiga meva no tx cotxe.

Alguna amiga meva no tx moto ni cotxe. Si xs cert que “Si plou llavors el pati estx mullat”, i sabem que el pati estx sec, Podem assegurar que plou

Podem assegura que no plou

Podem assegurar que fa sol

No podem assegurar cap de les altres

3.0.3 Guia 0B2 La demostracix matemxtica En aquesta guia introduxm les idees bxsiques dels mxtodes de demostracix matemxtica. Tractarem

Demostracix directa

Demostracix indirecta

per contraposicix

per contradiccix, o reduccix a l’absurd.

La demostracix per induccix quedaria per a treball opcional per a matrxcula.

Slide 0: La demostracix matemxtica

xs un mxtode que consisteix en demostrar que una conclusix xs veritat a partir de una o diverses hipxtesis veritables. Exemple: Demostrar que la suma de dos nombres parells xs un nombre parell. La hipxtesi xs que dos nombres n, m sxn parells. La conclusix xs que la suma n + m xs parell. Demostracix: Suposant que n, m sxn nombres naturals parells, hem de demostrar que n + m xs un nombre parell. Segons la definicix de nombre parell, podem escriure n = 2k_{1}, m = 2k_{2}. Llavors, n + m = 2k_{1} + 2k_{2} = 2(k_{1} + k_{2}), i per tant, n + m xs parell. QED

Slide 1: Demostracix directa

La que acabem de veure xs una demostracix directa: a partir de la hipxtesi fem una cadena de raonaments lxgics correctes per arribar a la conclusix. Un altre exemple: Demostrar que el quadrat d’un nombre parell xs parell. Demostracix: Suposant que n xs un nombre natural parell (hipxtesi), hem de demostrar que n^{2} xs un nombre parell (conclusix). Segons la definicix de nombre parell, podem escriure n = 2k. Llavors, n^{2} = 4k^{2} = 2(2k^{2}), i per tant, n^{2} xs parell. QED Proveu ara de demostrar que “El producte de dos nombres senars xs senar”.

Slide 2: Demostracix indirecta per contraposicix

Recordem que P } Q xs equivalent a ¬Q } ¬P, o dit d’altra manera: Si P llavors Q xs equivalent a “Si noQ, llavors noP”. La demostracix per contraposicix de “Si P, llavors Q” consisteix en demostrar que “Si noQ, llavors noP”. Exemple: Per demostrar que “Si n^{2} xs parell, n xs parell”, ho fem per contraposicix, demostrarem que “Si n no xs parell, n^{2} no xs parell.” Demostracix: Si n xs un nombre natural no parell, llavors xs senar. Si n xs senar, com que el producte de dos senars xs senar, n · n = n^{2} xs senar. QED

Slide 3: Demostracix indirecta per contradiccix

La demostracix per contradiccix o per reduccix a l’absurd consisteix en suposar falsa la conclusix i arribar a una contradiccix, a una afirmacix impossible de ser certa. Exemple Demostrar que \sqrt{2} no xs racional, xs a dir que no es pot expressar com \sqrt{2} = a/b amb a, b enters. Demostracix: Suposem contrxriament que sx es pot tenir \sqrt{2} = a/b amb a, b enters. Si ambdxs a i b sxn parells, els dividim per dos fins que no siguin tots dos parells. Llavors tenim 2 = a^{2}/b^{2} o bx a^{2} = 2b^{2} i veiem que a^{2} xs parell i per tant a xs parell. Podem escriure, a = 2k per algxn enter k, a^{2} = 4k^{2} = 2b^{2}, i tenim b^{2} = 2k^{2}. Resulta que b^{2} xs parell i per tant b xs parell tambx: contradiccix perqux haviem vist que b era senar! QED

Un exemple no matemxtic: El Sr. X no xs culpable de l’assessinat de Y. Demostracix: Demostracix per reduccix a l’absurd: Si contrxriament fos culpable, necessxriament havia de ser en el lloc dels fets el dia D. Perx sabem que X era a la Patagxnia el dia D, i no pot ser que fos a dos llocs tant distants el mateix dia: contradiccix! QED

Exemple: Demostrar (per contradiccix) que per n ∈ Z, si 3n + 2 xs senar, llavors n xs senar. Demostracix: Si contrxriament fos 3n + 2 senar i n parell, podriem escriure n = 2k per algxn k ∈ Z. I tindriem 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1) amb la qual cosa 3n + 2 seria parell, contradiccix! Per tant no pot ser n parell, ha de ser n senar. QED

Observa que: Sovint una demostracix per contradiccix es pot reformular com una demostracix per contraposicix.

Slide 4: Mxs exemples

• Demostrar que, Donats dos nombres naturals m, n, tots dos sxn senars si i nomxs si el producte mn xs senar. Cal fer dues demostracions: 1.- m i n sxn senars } mn xs senar. Demostracix: Demostracix directa: Posem m = 2k_{1} + 1, n = 2k_{2} + 1. Tindrem mn = (2k_{1} + 1)(2k_{2} + 1) = 4k_{1}k_{2} + 2k_{1} + 2k_{2} + 1 = 2(2k_{1}k_{2} + k_{1} + k_{2}) + 1 que xs senar. QED

2.- m i n sxn senars { mn xs senar.

Demostracix: Demostracix per contraposicix: Si algxn m o n no xs senar, demostrarem que mn no xs senar. Posem que m xs parell (si fos n qui xs parell, els intrecanviem). Llavors tenim m = 2k, i llavors mn = 2kn xs parell. Per tant la contrapositiva xs veritat. QED

• Demostrar que Donats dos nombres naturals m, n, si m + n xs senar, llavors exactament un dels dos m o n xs senar.

Tenim dues proposicions: P : La suma m + n xs senar., Q : Exactament un dels dos, m o n xs senar, i volem veure que P } Q.

xs mxs senzill demostrar, per contraposicix, que ¬Q } ¬P, xs a dir que ¬Q : tots dos sxn senars o tots dos sxn parells, ¬P : la suma no xs senar.

Demostracix: Hi ha dos casos: Cas 1.- Tots dos sxn senars: m = 2k_{1} + 1, n = 2k_{2} + 1, Llavors m + n = 2(k_{1} + k_{2} + 1) xs parell.  QED. Cas 2.- Tots dos sxn parells, m = 2k_{1}, n = 2k_{2}. Llavors m + n = 2(k_{1} + k_{2}) tambx xs parell.  QED

Slide 5: Fals per contraexemple

Per mostrar que una afirmacix dels tipus “Tots els xcompleixen x” xs falsa, nomxs cal trobar un cas que no ho compleix. Haurem provat que xs veritable la contrxria “Existeix un xque no compleix x”.

En diem un contraexemple.

“Tots els polxtics sxn honestos” xs fals, nomxs cal esmentar-ne un que no ho sigui.

Totes les equacions del tipus ax^{2} + bx + c = 0 tenen dues solucions reals diferents. Fals: l’equacix x^{2} + 2 = 0 no tx cap solucix real.

Tot mxltiple de 5 xs tambx mxltiple de 15. Fals: 20 xs un contraexemple.

Atencix: Un exemple no mostra que l’afirmacix sigui veritable, un contraexemple sx mostra que xs falsa!

xs cert que la suma de tres nombres consecutius xs divisible per tres?

Sx: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) xs divisible per tres sigui qui sigui n. Ho hem demostat per tots els n.

xs cert que la suma de quatre nombres consecutius xs divisible per quatre?

No! Contraexeemple: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

3.0.4 Quizz pre-classe 0B2 Expressa la contrxria de cadascuna de les segxents afirmacions. Recorda que no es tracta aqux si sxn afirmacions verdaderes o no.

Cada dia de les vacances vem anar a la platja o al parc d’atraccions Totes les treballadores de l’empresa tenen categoria inferior a D. Tots els nois de la classe porten bambes Rivuk. Alguna noia de la classe porta texans Leibis. Algun dels meus amics xs alemany. Cap professor de la facultat xs de nacionalitat australiana. La funcix f(x) xs diferenciable en tots els punts de (0, 1). Tot nombre natural xs parell o senar. Tot mxltiple de 3 xs tambx mxltiple de 5. Existeix un punt x_{0} tal que f(x_{0}) = 0. Per tots els punts x_{1} > x_{2} de l’interval (0, 1) es compleix f(x_{1}) > f(x_{2}). En algun punt x_{0} del domini de la funcix f(x), es compleix que f′(x) = 0 i f′′(x_{0}) < 0. La matriu M tx alguna fila amb tots els elements iguals a zero.

(problema 1.6-1 de S&H) Considerem l’afirmacix (discutible): Si la inflacix augmenta, l’atur disminueix. Digues quines de les segxents afirmacions sxn equivalents.

Perqux disminueixi l’atur cal que augmenti la inflacix. Una condicix suficient per tal que disminueixi l’atur xs que creixi la inflacix. L’atur disminueix nomxs si creix la inflacix. Si l’atur no disminueix, la inflacix no creix. Una condicix necessxria per tal que creixi la inflacix xs que l’atur disminueixi.

Expressa les set primeres afirmacions de l’exercici anterior en la forma ∀x ∈ X, p(x) o en la forma ∃x ∈ X : p(x) segons el cas. Per exemple, per la primera, direm: Sigui X el conjunt dels dies de vacances, p(x) = “El dia x vem anar a la platja” i q(x) = “El dia x vem anar al parc d’atraccions”. L’afirmacix queda expressada amb ∀x ∈ X, p(x) ∨ q(x).

Demostra (per demostracix directa) que la suma de cinc nombres naturals consecutius xs mxltiple de cinc.

Eficixncia Pareto En el llibre de text de Introduccix a la Microeconomia que heu estudiat trobem, a 5.8.1 La curva de eficiencia de Pareto la segxent definicix: Una asignacixn factible es eficiente en txrminos de Pareto si no existe una asignacixn dominante en txrminos de Pareto: es decir, nadie puede mejorar sin empeorar la situacixn de otro. Llegeix altre cop el capxtol si no tens clar qux vol dir la eficixncia en termes Pareto. Aqux ens interessa formalitzar els conceptes que apareixen. Posem que A_{1}, A_{2} siguin dues assignacions factibles, xs a dir que assignen a cada individu unes quantitats que no superen el disponible i denotem A_{1}(i), A_{2}(i) la utilitat que obtx l’individu i segons les assignacions respectives. Diem que A_{1} domina A_{2} si, per tots els individus, l’assignacix segons A_{1} xs mxs gran o igual que segons A_{2}, xs a dir que ∀i, A_{1}(i) ≥ A_{2}(i) . Escribim A_{1} ⪰ A_{2} en aquest cas. Llavors, si A denota el conjunt d’assignacions factibles, diem que A^{⋆} xs una assignacix Pareto-eficient si ∀A ∈ A, A^{⋆} ⪰ A.

Digues si per qualsevol assignacix A xs cert que A ⪰ A. Resposta: Sx xs cert, perqux per qualsevol individu es compleix A(i) ≥ A(i).

Expressa fent aquestes notacions la afirmacix “A_{1} no domina A_{2}”.

Resposta: Existeix algun individu pel qual l’assignacix segons A_{1} no xs major o igual que segons A_{2}, o bx: ∃i : A_{1}(i) < A_{2}(i).

Creus que “A_{1} no domina A_{2}” xs aquivalent a “A_{2} domina A_{1}”?. Raona la teva resposta.

Resposta: No. La segona afirmacix diu que per tots els individus la assignacix segons A_{1} xs menor o igual que segons A_{2}.

Expressa amb les teves paraules la afirmacix “A^{⋆} no xs una assignacix Pareto-eficient”. Resposta: Voldrx dir que hi ha alguna assignacix A ∈ A tal que A^{⋆} no domina A.

3.0.6 Exercicis extra

(Problema 1.6-2 del S&H) Analitzeu el segxent epitafi (a) des del punt de vista lxgic i (b) des del punt de vista poxtic.

Els que el van conxixer el van estimar

Els que no el van estimar no el van conxixer.