xxEl llenguatge de les matemtiques

El llenguatge de les matemxtiques

Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF

25xde marx dex2021

xndex

1 Objectius d’aprenentatge 2 Prerequisits 3 Guia pel professor x3.1 Presentacix del tema x3.2 Materials bxsics 4 Activitats autxnomes xx4.0.1 Conjunts xx4.0.2 Negacix xx4.0.3 Video sobre condicions suficients o necessxries xx4.0.4 Implicacix xx4.0.5 Video sobre implicacix i negacix xx4.0.6 Video sobre proposicions condicionals i veritat xx4.0.7 Conjuncions, disjunctions i negacix xx4.0.8 Demostracions senzilles xx4.0.9 \sqrt{2} xs irracional 5 Llista d’exercicis xx5.0.1 Petites demostracions xx5.0.2 Eficixncia Pareto 6 Suplements avanxats 7 Exercicis per exxmens Aquest xs un document de treball INTERN, en fase de discussix i molt preliminar. No en feu difussix, sisplau.

(Enllax al document principal) (Enllax a la versix pdf d’aquest document) (Enllax a la font LaTeX) (Enllax als fitxers de les figures)

1 Objectius d’aprenentatge

Les beceroles del llenguatge formal Les connectives lxgiques: conjuncix, disjuncix, negacix, implicacix Proposicions Tots o algxn, els quantificadors

El llenguatge dels conjunts Conjunts i elements Unix, interseccix, subconjunts

El raonament matemxtic Definicix, propietats, teoremes Demostracions

2 Prerequisits No se’n presuposen.

3 Guia pel professor

3.1 Presentacix del tema Motivacix: la necessitat del llenguatge formal per expressar idees de manera unxvoca, per evitar ambigxitats. En matemxtiques utilitzem lletres i altres sxmbols per representar no nomxs nombres, tambx altres objectes, com funcions, conjunts, o tambx proposicions, afirmacions que poden ser veritat o falses. Caldrx fer el pont i el contrast entre el llenguatge formal i el llenguatge usual. Comenxar amb exemples de demostracions errxnies, arguments falaxos, frases ambigxes, etc Empalmar amb demostracions senzilles tipus senar + senar xs parell (IB-HL-An&App 5.1) Introduir els sxmbols i els conceptes a travxs d’exemples i deixar-ho obert per les activitats autxnomes.

3.2 Materials bxsics SH-MAE:

SH-MAE: 1.5 Algunos aspectos de lxgica

SH-MAE: 1.6 Demostracixn matemxtica

SH-MAE: 1.7 Teorxa de conjuntos

IB-HL-An&App

5. Proofs

5.1 Basic Laws and simple proofs

5.2 Direct proofs

4 Activitats autxnomes

4.0.1 Conjunts Pots llegir SH 1.7, o mirar-te aquests videos: The Importance of Set Theory — Silvia Jonas INTRODUCTION to SET THEORY (The Trev Tutor) 16 min.

[Discrete Mathematics] Set Operations Examples #2 (The Trev Tutor)

Set Operations & Venn Diagrams, part 1 127-1.20.a HCC MathHelp 9min.

Set Operations & Venn Diagrams, part 2 127-1.20.b 9 min.

Set Operations & Venn Diagrams, part 3 127-1.20.c 6min.

QUIZZ Si A xs el conjunt dels jugadors del Barxa a la temporada 2019/20. = Messi xs un subconjunt de A == Messi xs un element de A

SET OPERATIONS - SET OPERATIONS - DISCRETE MATHEMATICS, Trev Tutor 7min.

4.0.2 Negacix

Llegeix l’exemple 5.3 del IB-HL-An&App.

Respxn aquest qxestionari.

La negacix de la frase “A l’Anna li agrada la mxsica pop” xs = A l’Anna no li agrada la mxsica = A l’Anna li agrada la mxsica no-pop = Si no l’hi agrada la mxsica pop, no xs l’Anna = A l’Anna no li agrada la mxsica pop

La negacix de 2 < x < 4 xs = x > 4 = x ≤ 2 = x ≥ 4 i x ≤ 2 = x ≥ 4 x x ≤ 2

x

4.0.3 Video sobre condicions suficients o necessxries

Necessary and Sufficient Conditions, Dr. Trefor Bazett (8min)

millor: Propositional Logic: Necessary and Sufficient Kevin deLaplante(5min)

QUIZZ Marca les correctes: Si diem que p implica q = p xs condicix necessxria per q = p xs condicix suficient per q = q xs condicix necessxria per p = q xs condicix suficient per p

QUIZZ Marca les correctes: = Ser un hipopxtam xs CN per ser un animal = Ser bomber xs CS per ser persona = Ser un cotxe xs CN per ser una mxquina = Tenir 18 anys xs CN per treure’s el carnet de conduir.

4.0.4 Implicacix

Mira’t l’exemple 5.1, pag 217 del IB-AnAppr:

PIC

Fes ara aquests exercicis:

PIC

Solucix: aqux

Llegeix 1.5 del SH.

(Aquests quizzes sxn el problema 3 de les pxgines anteriors)

QUIZZ Sigui A(x) : 2x + 5 > 13 i B(x) : x ≥ 0. Tria la correcta: == A(x) xs CN per B(x) =A(x) xs CS, per B(x) = A(x) xs CN i CS per B(x)?

QUIZZ Igual pregunta amb A(x) : x ≥ 50 i B(x) : x ≥ 0.

QUIZZ Igual pregunta amb A(x) : x ≥ 0 i B(x) : x ≥ 4.

QUIZZ En el llenguatge de la teoria de conjunts, A } B equival a == A ⊂ B. = B ⊂ A = A ∈ B = A ∩ B

4.0.5 Video sobre implicacix i negacix

Khan Academy: Conditional statements and deductive reasoning (4min)

En aquest video t’han explicat que p } q xs equivalent a ⌝q }⌝p.

Desprxs de veure el video, se’ls plantegen exercisis tipus La proposicix “Si mires la tele perds el temps” xs equivalent a la proposicix “Si aprofites el temps, no mires la tele” o xs equivalent a “Si no mires la tele, perds el temps”

4.0.6 Video sobre proposicions condicionals i veritat

Khan Academy: Understanding Logical Statements 1 (4min)

QUIZZ En una proposicix condicional hi ha dos termes: l’antecedent i el conseqxent. En la proposicix “Si les vaques volen, jo sxc Buda”, = no hi ha antecedent perqux la proposicix xs falsa = l’antecedent xs “jo sxc Buda” = L’antecedent ’es “Si les vaques volen” = el conseqxent xs “jo no sxc Buda”

QUIZZ la proposicix “Si les vaques volen, jo sxc Buda”, = xs falsa perqux les vaques no volen = xs falsa perqux jo no sxc Buda =xs falsa si la diu Buda = xs veritable

Per reforxar la idea que una implicacix xs falsa nomxs quan l’antecedent ho xs i el consequent no:

QUIZZ Tenim una llista de persones (amb inicials o amb noms propis) i la seva categoria professional a l’empresa (directiu=D / treballador=T, o desconegut=X). A: La Maria xs X B: S. xs D C: En Joan xs X D: L. xs T Si volem demostrar que “Totes les dones sxn treballadores”, quines dades de la llista hem d’aclarir com a mxnim: = A,B,C i D (Resposta incorrecta: No importa saber si en Joan xs o no D) = C i D (Resposta incorrecta: No importa saber si en Joan xs o no D, tampoc cal saber si L xs dona o home) = No es pot saber ni aclarint totes les dades (Resposta incorrecta, nomxs cal saber que S. no xs dona) == la B (Resposta correcta)

I variants... amb “Cap dona xs directiva”, etc...

4.0.7 Conjuncions, disjunctions i negacix

QUIZZ La negacix de “Plou i fa sol” xs = No plou i no fa sol = Ni plou ni fa sol == No plou o no fa sol = Plou perx no fa sol

4.0.8 Demostracions senzilles

Una demostracix o prova matemxtica xs una cadena de raonaments en la que cada afirmacix xs condicix necessxria de l’anterior. El punt de partida d’una demostracix xs o bx les deficnicions dels termes que intervenen, o alguna propietat que ja es coneix.

Llegeix la pxgina 204-205 del IB-HL-An&App. Has entxs la demostracix de l’exemple 5.1? Comprovem-ho. Hauries de ser capax d’escriure la demostracix que la suma d’un nombre senar i un parell xs senar. Porta-la al seminari per si te la demanen.

Idem per: El producte de dos nombres senars xs senar.

Idem per: Si n ≥ 2, n! + 2 xs parell. (Recorda que n! es defineix com el producte dels nombres 1, 2, x, n.

xs cert que la suma de tres enters consecutius xs divisible per 3? xs certa la afirmacix per quatre? La teva resposta ha de ser o una prova o un contraexemple.

Molt bx, perx alerta amb les demostracions, TOTS els passos han de ser correctes, si no, es pot arribar a qualsevol conclusix. Vegeu si no aquest video: Proof that 1 = 2, by John Hush 4.0.9 \sqrt{2} xs irracional Qux vol dir irracional? Mira’t el video (8m) de la Kahn Academy: https://www.youtube.com/watch?v=mX91_3GQqLY Que perqux aixx xs important? Mira’t aquest altre (5m) de Hotel Infinity: https://www.youtube.com/watch?v=nT4geKdKVfw Has entxs la demostracix? Quiz: Qux vol dir demostrar P per contradiccix? = Vol dir que hem de trobar dues afirmacions contradictxries a partir de P = Vol dir que el que volem demostrar xs contradictori = Vol dir que a partir de la negacix de P hem de demostrar-ho = Vol dir que partint de la negacix de P hem de arribar a una contradiccix. Pots demostrar que \sqrt{3} xs irracional? Escriu la demostracix i porta-la a classe per si te la demanen.

5 Llista d’exercicis

5.0.1 Petites demostracions

Demostra que si \sqrt{x + y} = \sqrt{x} + \sqrt{y}, llavors un dels dos x o y ha de ser zero.

Demostra que la suma de 5 nombres enters consecutius xs divisible per 5.

Demostra que per n ∈ Z, 5n + 3 xs parell si 7n − 2 xs senar.

Demostra que A ∩ B ⊂ B per qualsevol conjunts A, B.

Demostra que si A, B sxn conjunts qualssevol, A ⊂ A ∪ B.

Demostra que si A, B sxn conjunts qualssevol, A ∩ B ⊂ A ∪ B.

Si A xs l’interval (0, 2) de la recta real, quin xs el conjunt A^{c} ∩ (1, 10)?

5.0.2 Eficixncia Pareto En el llibre de text de Introduccix a la Microeconomia que esteu estudiant trobem, a 5.8.1 La curva de eficiencia de Pareto la segxent definicix: Una asignacixn factible es eficiente en txrminos de Pareto si no existe una asignacixn dominante en txrminos de Pareto: es decir, nadie puede mejorar sin empeorar la situacixn de otro. Llegeix altre cop el capxtol si no tens clar qux vol dir la eficixncia en termes Pareto.

Posem el cas que mxs de dos agents intervenen. Digues si les segxents definicions alternatives serien o no correctes: = Una asignacix xs Pareto eficient si en canviar a una altra assignacix algun agent millora mxs que els altres. SI/NO = Una asignacix xs Pareto eficient si en canviar a una altra assignacix ningx millora SI/NO = Una asignacix xs Pareto eficient si en canviar a una altra assignacix nomxs un millora i els altres no SI/NO

Posem el cas que hi ha dos agents A_{1}, A_{2} i definim les proposicions P_{i} :A_{i} millora. Suposem que estem en una situacix Pareto eficient, == Si P_{1}, llavors ⌝P_{2} SI/NO Llavors: (digues si sxn o no veritat les segxents afirmacions) == Si P_{1}, llavors ⌝P_{2} SI/NO = Si ⌝P_{1} llavors P2 SI/NO == Si P_{1} ∧ P_{2} llavors 0 = 1 SI/NO == xs possible que P_{1} ∨ P_{2} SI/NO

Posem ara que estem en una situacix no eficient en termes de Pareto i canviem a una nova assignacix. Llavors: (digues si sxn o no veritat les segxents afirmacions) = Si P_{1}, llavors ⌝P_{2} SI/NO == xs possible que P_{1} ∨ P_{2} SI/NO = Si ⌝P_{1} llavors P2 SI/NO

6 Suplements avanxats

IB-HL-An&App

5. Proofs

5.3 Indirect proofs

5.4 Mathematical induction

Els qxestionaris del MathCenter: Boolean algebra http://www.mathcentre.ac.uk:8081/mathseg/

Coleccix de videos molt completa sobre Set Theory: The Trev Tutor

7 Exercicis per exxmens

Demostra que \sqrt{5} xs irracional. Caldrx fer servir que si a^{2} xs mxltiple de 5, a tambx ho ha de ser.

Demostra que la suma de sis enters consecutius xs divisible per tres.

Si A = (0, 10) i B = (−5, 5), quin interval correspon a A^{c} ∩ B