\documentclass{article}

\input{../latexDefs.tex}

\title{El llenguatge de les matemàtiques}
\author{Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF}

\begin{document}

\maketitle{}

\tableofcontents{}

\enllacos

\section{Objectius d’aprenentatge}
\begin{itemize}
\item Les beceroles del llenguatge formal
  \begin{itemize}
  \item Les connectives lògiques: conjunció, disjunció,
    negació, implicació
  \item Proposicions
  \item Tots o algún, els quantificadors
  \end{itemize}
\item El llenguatge dels conjunts
  \begin{itemize}
  \item Conjunts i elements
  \item Unió, intersecció, subconjunts
  \end{itemize}
\item El raonament matemàtic
  \begin{itemize}
  \item Definició, propietats, teoremes
  \item Demostracions
  \end{itemize}
\end{itemize}

\section{Prerequisits}

No se'n presuposen.

\section{Guia pel professor}

\subsection{Presentació del tema}

Motivació: la necessitat del llenguatge formal per expressar idees de
manera unívoca, per evitar ambigüitats.

En matemàtiques utilitzem lletres i altres símbols per representar no només nombres, també altres objectes, com funcions,
conjunts, o també proposicions, afirmacions que poden ser veritat o falses.

Caldrà  fer el pont i el contrast entre el llenguatge formal i el
llenguatge usual.

Començar amb exemples de demostracions errònies, arguments falaços,
frases ambigües, etc

Empalmar amb demostracions senzilles tipus senar + senar és parell
(IB-HL-An\&App 5.1)

Introduir els símbols i els conceptes a través d'exemples i deixar-ho
obert per les activitats autònomes.




\subsection{Materials bàsics}

SH-MAE:
\begin{itemize}
\item SH-MAE: 1.5 Algunos aspectos de lógica 
\item SH-MAE: 1.6 Demostración matemática 
\item SH-MAE: 1.7 Teoría de conjuntos
\end{itemize}


IB-HL-An\&App
\begin{itemize}
\item 5. Proofs 
\item 5.1 Basic Laws and simple proofs 
\item 5.2 Direct proofs 
\end{itemize}



\section{Activitats autònomes}

\subsubsection{Conjunts}

Pots llegir SH 1.7, o mirar-te aquests videos:


\href{https://www.youtube.com/watch?v=9n3QsegLU3U}{The Importance of Set Theory | Silvia Jonas}


\href{https://www.youtube.com/watch?v=tyDKR4FG3Yw}{INTRODUCTION to SET THEORY (The Trev Tutor)} 16 min.


\href{https://www.youtube.com/watch?v=6RsudHXe6ZM&list=PLDDGPdw7e6Ag1EIznZ-m-qXu4XX3A0cIz&index=7}{[Discrete Mathematics] Set Operations Examples \#2  (The Trev Tutor)}


\href{https://www.youtube.com/watch?v=W8zXWxT_H7A}{Set Operations \& Venn Diagrams, part 1 127-1.20.a HCC MathHelp} 9min.


\href{https://www.youtube.com/watch?v=O-PUrTkNnNE}{Set Operations \& Venn Diagrams, part 2 127-1.20.b} 9 min.


\href{https://www.youtube.com/watch?v=t2Jl0IzxkWU}{Set Operations \& Venn Diagrams, part 3 127-1.20.c} 6min.


\QUIZZ
Si $A$ és el conjunt dels jugadors del Barça a la temporada 2019/20.\\
= Messi és un subconjunt de $A$\\
== Messi és un element de $A$\\


SET OPERATIONS -
\href{https://www.youtube.com/watch?v=4TlCToZZ5gA\&list=PLDDGPdw7e6Ag1EIznZ-m-qXu4XX3A0cIz\&index=6}{SET OPERATIONS - DISCRETE
  MATHEMATICS, Trev Tutor} 7min.


\subsubsection{Negació}

Llegeix l'exemple 5.3 del IB-HL-An\&App.

Respón aquest qüestionari.

La negació de la frase ``A l'Anna li agrada la música pop'' és\\
= A l'Anna no li agrada la música\\
= A l'Anna li agrada la música no-pop\\
= Si no l'hi agrada la música pop, no és l'Anna\\
= A l'Anna no li agrada la música pop

La negació de $2 < x < 4$ és\\
= $x>4$\\
= $x\leq 2$\\
= $x\geq 4$ i $x\leq 2$\\
= $x\geq 4$ ó $x\leq 2$

\dots

\subsubsection{Video sobre condicions suficients o necessàries}


\href{https://www.youtube.com/watch?v=KCMGWRoPuMY}{Necessary and Sufficient Conditions, Dr. Trefor Bazett} (8min)


millor:
\href{https://www.youtube.com/watch?v=FHeimgMWiog}{Propositional Logic: Necessary and Sufficient Kevin deLaplante}(5min)


\QUIZZ
Marca les correctes:\\
Si diem que $p$ implica $q$\\
= $p$ és condició necessària per $q$\\
= $p$ és condició suficient per $q$\\
= $q$ és condició necessària per $p$\\
= $q$ és condició suficient per $p$\\

\QUIZZ
Marca les correctes:\\
= Ser un hipopòtam és CN per ser un animal\\
= Ser bomber és CS per ser persona\\
= Ser un cotxe és CN per ser una màquina\\
= Tenir 18 anys és CN per treure's el carnet de conduir.\\
\dots

\subsubsection{Implicació}

Mira't l'exemple 5.1, pag 217 del IB-AnAppr:

\grafLink{exm-5-11-AnAppr.png}

Fes ara aquests exercicis:

\grafLink{exc-5-2-AnApp.png}

\solucio{\href{figures/analysis-and-approaches_hl_worked-solutions_ch5-2-3.pdf}{aquí}}

\href{figures/SH-MAE-seccio-1-5.pdf}{Llegeix 1.5 del SH.}


(Aquests quizzes són el problema 3 de les pàgines anteriors)

\QUIZZ
Sigui $A(x): 2 x + 5 > 13$ i $B(x): x\geq 0$. Tria la correcta:\\
== $A(x)$ és CN per $B(x)$ \\
=$A(x)$  és CS, per $B(x)$\\
= $A(x)$ és CN i CS per $B(x)$?

\QUIZZ
Igual pregunta amb $A(x): x \geq 50$ i $B(x): x\geq 0$.

\QUIZZ
Igual pregunta amb $A(x): x \geq 0$ i $B(x): x\geq 4$.

\QUIZZ
En el llenguatge de la teoria de conjunts, $A \Rightarrow B$ equival a\\
== $A \subset B$.\\
= $B \subset A$\\
= $A \in B$\\
= $A\cap B$

\subsubsection{Video sobre implicació i negació }
Khan Academy:
\href{https://www.youtube.com/watch?v=Q5gk9ljVuTE}{Conditional statements and deductive reasoning} (4min)

En aquest video t'han explicat que $p\Rightarrow q$ és equivalent a
$\urcorner q \Rightarrow \urcorner p$. 

Després de veure el video, se'ls plantegen exercisis tipus
La proposició ``Si  mires la tele perds el temps''
és equivalent a la proposició
``Si aprofites el temps, no mires la tele''
o és equivalent a ``Si no mires la tele, perds el temps''


\subsubsection{Video sobre proposicions condicionals i veritat}

 Khan Academy:
\href{https://www.youtube.com/watch?v=I6hz8mhaRB0}{Understanding Logical Statements 1} (4min)

\QUIZZ
En una proposició condicional hi ha dos termes: l'antecedent i el
conseqüent. En la proposició ``Si les vaques volen, jo sóc Buda'',\\
= no hi ha antecedent perquè la proposició és falsa\\
= l'antecedent és ``jo sóc Buda''\\
= L'antecedent 'es ``Si les vaques volen''
= el conseqüent és ``jo no sóc Buda''

\QUIZZ
la proposició ``Si les vaques volen, jo sóc Buda'',\\
= és falsa perquè les vaques no volen\\
= és falsa perquè jo no sóc Buda\\
=és falsa si la diu Buda\\
= és veritable\\

Per reforçar la idea que una implicació és falsa només quan l'antecedent ho és i el consequent no:

\QUIZZ
Tenim una llista de persones (amb inicials o amb noms propis) i la seva categoria professional a l'empresa (directiu=D /
treballador=T, o desconegut=X).\\
A: La Maria és X\\
B: S. és D\\
C: En Joan és X\\
D: L. és T\\
Si volem demostrar que ``Totes les dones són treballadores'', quines dades de la llista hem d'aclarir com a mínim:\\
= A,B,C i D (Resposta incorrecta: No importa saber si en Joan és o no D)\\
= C i D (Resposta incorrecta: No importa saber si en Joan és o no D, tampoc cal saber si L és dona o home)\\
= No es pot saber ni aclarint totes les dades (Resposta incorrecta, només cal saber que S. no és dona)\\
== la B (Resposta correcta)

I variants... amb ``Cap dona és directiva'', etc...

\subsubsection{Conjuncions, disjunctions i negació}

\QUIZZ
La negació de ``Plou i fa sol'' és\\
= No plou i no fa sol\\
= Ni plou ni fa sol\\
== No plou o no fa sol\\
= Plou però no fa sol



\subsubsection{Demostracions senzilles}

Una demostració o prova matemàtica és una cadena de raonaments en la
que cada afirmació és condició necessària de l'anterior. El punt de
partida d'una demostració és o bé les deficnicions dels termes que
intervenen, o alguna propietat que ja es coneix.

Llegeix la pàgina 204-205 del IB-HL-An\&App. Has entés la demostració
de l'exemple 5.1? Comprovem-ho. Hauries de ser capaç d'escriure la
demostració que la suma d'un nombre senar i un parell és
senar. Porta-la al seminari per si te la demanen.

Idem per: El producte de dos nombres senars és senar.

Idem per: Si $n\geq 2$, $n!+2$ és parell. (Recorda que $n!$ es defineix
com el producte dels nombres $1, 2,\dots, n$.

És cert que la suma de tres enters consecutius és divisible per 3? És
certa la afirmació per quatre? La teva resposta ha de ser o una prova
o un contraexemple.

Molt bé, però alerta amb les demostracions, TOTS els passos han de ser correctes, si no, es pot arribar a qualsevol
conclusió. Vegeu si no aquest video: \href{https://www.youtube.com/watch?v=hI9CaQD7P6I}{Proof that 1 = 2, by John Hush}

\subsubsection{$\sqrt2$ és irracional}

Què vol dir irracional? Mira't el video (8m) de la Kahn Academy: 
\url{https://www.youtube.com/watch?v=mX91_3GQqLY}

Que perquè això és important? Mira't aquest altre (5m) de Hotel Infinity:
\url{https://www.youtube.com/watch?v=nT4geKdKVfw}

Has entés la demostració?

Quiz:
Què vol dir demostrar $P$ per contradicció?\\
= Vol dir que hem de trobar dues afirmacions contradictòries a partir
de $P$\\
= Vol dir que el que volem demostrar és contradictori\\
= Vol dir que a partir de la negació de $P$  hem de
demostrar-ho\\
= Vol dir que partint de la negació de $P$ hem de arribar a una contradicció.

Pots demostrar que $\sqrt3$ és irracional? Escriu la demostració i
porta-la a classe per si te la demanen.

\section{Llista d’exercicis}

\subsubsection{Petites demostracions}\label{sec:petit-demostr}
\begin{enumerate}
\item Demostra que si $\sqrt{x+y}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$, llavors un dels
  dos $x$ o $y$ ha de ser zero.
\item Demostra que la suma de 5 nombres enters consecutius és
  divisible per 5.
\item Demostra que per $n\in Z$,  $5n+3$ és parell si $7n-2$ és senar.
\item Demostra que $A\cap B \subset B$ per qualsevol conjunts $A, B$.
\item Demostra que si $A, B$ són conjunts qualssevol, $A\subset A\cup B$.
\item Demostra que si $A, B$ són conjunts qualssevol, $A\cap B \subset
  A\cup B$.
\item Si $A$ és l'interval $(0,2)$ de la recta real, quin és el
  conjunt $A^c \cap (1, 10)$?
\end{enumerate}

\subsubsection{Eficiència Pareto}\label{sec:pareto-efic}

En el llibre de text de Introducció a la Microeconomia que esteu
  estudiant trobem, a 
  \href{https://www.core-econ.org/the-economy/book/es/text/leibniz-05-08-01.html}{5.8.1
    La curva de eficiencia de Pareto} la següent definició: \emph{Una asignación factible es
  eficiente en términos de Pareto si no 
  existe una asignación dominante en términos de Pareto: es decir,
  nadie puede mejorar sin empeorar la situación de otro}.

Llegeix altre cop el capítol si no tens clar què vol dir la eficiència en termes Pareto.

Posem el cas que més de dos agents intervenen.\\
Digues si les següents definicions alternatives serien o no  correctes:\\
= Una asignació és Pareto eficient si en canviar a una altra assignació algun agent millora més que els altres. \SINO\\
= Una asignació és Pareto eficient si en canviar a una altra assignació ningú millora \SINO\\
= Una asignació és Pareto eficient si en canviar a una altra assignació només un millora i els altres no \SINO\\

Posem el cas que hi ha dos agents $A_1, A_2$ i definim les proposicions $P_i:
$\emph{$A_i$ millora}. Suposem que estem en una situació Pareto
eficient,\\
== Si $P_1$, llavors $\urcorner P_2$ \SINO\\
 Llavors: (digues si són o
no veritat les següents afirmacions)\\
== Si $P_1$, llavors $\urcorner P_2$ \SINO\\
= Si $\urcorner P_1$ llavors $P2$ \SINO\\
== Si $P_1 \wedge P_2$ llavors $0 = 1$ \SINO\\
== És possible que $P_1 \vee P_2$ \SINO\\

Posem ara que estem en una situació no eficient en termes de Pareto  i
canviem a una nova assignació.  Llavors: (digues si són o 
no veritat les següents afirmacions)\\
= Si $P_1$, llavors $\urcorner P_2$ \SINO\\
== És possible que $P_1 \vee P_2$ \SINO\\
= Si $\urcorner P_1$ llavors $P2$ \SINO



\section{Suplements avançats}

IB-HL-An\&App
\begin{itemize}
\item 5. Proofs 
\item 5.3  Indirect proofs
\item  5.4 Mathematical induction
\end{itemize}

Els qüestionaris del MathCenter: Boolean algebra \url{http://www.mathcentre.ac.uk:8081/mathseg/}

\href{https://www.youtube.com/playlist?list=PLDDGPdw7e6Ag1EIznZ-m-qXu4XX3A0cIz}{Colecció de videos molt completa sobre Set Theory:
  The Trev Tutor}



\section{Exercicis per exàmens}

\begin{enumerate}
\item Demostra que $\sqrt5$ és irracional. Caldrà fer servir que si
  $a^2$ és múltiple de 5, $a$ també ho ha de ser.
\item   Demostra que la suma de sis enters consecutius és divisible per
  tres.
\item Si $A=(0,10)$ i $B=(-5, 5)$, quin interval correspon a $A^c \cap B$
\end{enumerate}




\end{document}
