xxFuncions, equacions, inequacions

Funcions, equacions, inequacions

Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF

25xde marx dex2021

xndex

1 Objectius d’aprenentatge 2 Prerequisits 3 Guia pel professor x3.1 Presentacix del tema x3.2 Materials bxsics 4 Activitats autxnomes xx4.0.1 Fer grxfiques amb l’ordinador xx4.0.2 Completar el quadrat amb Geogebra xx4.0.3 Desigualtats lineals xx4.0.4 Programacix lineal: enfocament grxfic 5 Llista d’exercicis xx5.0.1 Exerc-complQuad xx5.0.2 Exerc-complQuad 6 Suplements avanxats 7 Exercicis per exxmens xx7.0.1 Troba la transformacix

Aquest xs un document de treball INTERN, en fase de discussix i molt preliminar. No en feu difussix, sisplau.

(Enllax al document principal) (Enllax a la versix pdf d’aquest document) (Enllax a la font LaTeX) (Enllax als fitxers de les figures)

1 Objectius d’aprenentatge

Concepte de funcix, domini, recorregut, grxfica Funcions lineals, equacix de la recta, interseccix de rectes, equacions i inequacions lineals Elements de programacix lineal La funcix valor absolut, la funcix f(x) = |x|/x Funcions quadrxtiques, parxboles, completar el quadrat, desplaxament de y = x^{2}. Transformacions de grxfiques: reflexions en els eixos, translacions, canvis d’escala en els eixos xs de geogebra o eines equivalents en aquests items

2 Prerequisits

Arrel quadrada, regles de potenciacix L’xlgebra elemental de resolucix d’equacions lineals o de segon ordre Les beceroles de geogebra

3 Guia pel professor 3.1 Presentacix del tema

3.2 Materials bxsics Les transparxncies d’xngel Gil Guia 1. Introduccix. Funcions Pels Elements de programacix lineal, la seccix 2.3 del PermRau. Capxtol 2 Functions de IB-HL-MAth-An&Appr. Tambx Capxtol 2 Functions de IB-HL-MAth-Appl&Interp.

4 Activitats autxnomes

4.0.1 Fer grxfiques amb l’ordinador Amb Geogebra xs fxcil, nomxs escriure la definicix, per exemple f(x)=abs(x) o bx directament f(x)=|x|, ja apareix el seu grxfic a la finestra grxfica. Desprxs podem decidir si volem veure’l o no amb el botnoet de color de l’esquerra, i podem canviar-ne alguns comportament amb la opcix Configurar del menx ⋮ de la seva dreta. Amb WolframAlpha, tambx xs fxcil: escrivim plotxabs(x),x{x,-1,1} i si no volem dir els lxmits de l’eix x podem ometre la segona part. Amb R cal que la funcix tingui un nom, i la variable independent no la donem. Si cal, haurem primer de definir la funcix i donar-li un nom. Prova aquestes comandes:

xplot.function(abs,xfrom=-2,xto=2)xxx#xpodemxdefinirxelxcolorxoxelxgruixxdexlaxliniaxxxplot.function(abs,xfrom=-2,xto=2,xcol='red',xlwd=3)xxx#xdefinimxunaxfuncioxambxelxnomxixlaxvariablexindependentxquexmesxensxagradixxxla_meva_funciox=xfunction(h)x2-abs(h)xxx#xixlaxdibuixemxsobreposadaxambxlaxanteriorxxxplot.function(la_meva_funcio,xfromx=x-2,xto=2,xaddx=xTRUE)

PIC Practica una mica, hauries de ser capax de reproduir aquests grxfics amb qualsevol dels paquets de software comentats. QUIZZ Fes correspondre a cada grxfica una de les definicions de sota i digues quines sxn les grxfiques que no poden correspondre a una funcix. De fet, hi ha dues d’aquestes grxfiques que no poden ser la grxfica d’una funcix, quines sxn?

\begin{matrix}11−3 & 112x & 11−1/x & 11x^{1/3} \\ 11−x + 2 & 11−x^{2} + 2 & 11x^{2} + 2 & 11x^{3}/2 \\ 11x − 2 & 111/x & 11 & 11 \end{matrix}

Solucix: B: x = −3, K: x^{2} + y^{2} = \sqrt{4} no sxn funcions y = f(x) Solucix: PIC 4.0.2 Completar el quadrat amb Geogebra

Aquest xs un cas clar de tema que no es toca a classe, ni potser al seminari, se’ls fa treballar autxnomament, se’ls pot preguntar als seminari si ho han fet, i pot sortir a un examen tipus pregunta curta..

Per interpretar correctament un polinomi quadrxtic com ara p(x) = x^{2} + 3x − 1 xs molt cxmode competar el quadrat, xs a dir escriure’l en la forma p(x) = (x − a)^{2} + b. Aixx ho podem fer pas per pas aixx:

.  x^{2} + 3x − 1 = (x − a)^{2} + b \} a = −3/2, x^{2} + 3x − 1 = (x − \frac{3}{2})^{2} + b \} b = −(3/2)^{2} − 1 = −13/4  i per

tant p(x) = x^{2} + 3x − 1 = (x − 3/2)^{2} − 13/4

Podem entrar en Geogebra directament xp(x)=Ax(x-a)^2x+xb i se’ns creen variables A, a, b de manera que desprxs podem veure l’efecte de fer variar els seus valors. Tambx podem posar p0(x)=x^2 per tenir la referxncia de la parxbola estxndard. Fixa’t que per Geogebra A i a sxn variables diferents.

PIC

Fes-ho i contesta:

QUIZZ Quan fem variar a la parxbola p(x) es desplaxa verticalment SI/NO Quan fem variar b, la parxbola p(x) es desplaxa verticalment SI/NO Si a > 0 la parxbola p(x) s’ha desplaxat a la dreta respecte la p_{0} SI/NO Si A < 0 la parxbola tx les banyes cap avall SI/NO Si A = 0 la parxbola sempre estx a la part positiva de l’eix vertical SI/NO Mantenim A = 1 i fem variar b. Llavors, la parxbola p(x) tx dos zeros si i nomxs si b < 0 SI/NO

QUIZZ Observant que p(x) = x^{2} + 3x − 1 = (x − 3/2)^{2} − 13/4, es pot deduir que == p(x) = 0 / x = ±\sqrt{13/4} + 3 = p(x) = 0 / x = ±(13/4)^{2} + 3 = p(x) = 0 / x = ±\sqrt{13/4} − 3 = cap de les anteriors

De fet, Geogebra ens pot fer la complecix del quadrat automxticament. Asseguraeu-vos que esteu en la finestra CAS de Geogebra (CAS vol dir Computer Algebra System, Sistema de computacix algxbrica, algunes versions de Geogebra en diuen directament la Finestra Algebraica). A la finestra CAS les lletres es tracten com a sxmbols que poden representar nombres perx que no tenen un valor fix, tal com ho fem en l’xlgebra habitual.

Llavors podreu provar coses com aixx

PIC

4.0.3 Desigualtats lineals 4.0.4 Programacix lineal: enfocament grxfic Es pot repassar el que saben de representacix grxfica de rectes i de desigualtats lineals per introduir les idees bxsiques de la programacix lineal. Es pot seguir la lxnia de PembRau, cap. 2.2 i 2.3, pxgines 26-35.

5 Llista d’exercicis

5.0.1 Exerc-complQuad En el cas que tinguem p(x) = Ax^{2} + Bx + C, amb Ax1 per completar el quadrat com hem fet a 4.0.2 caldrx primer treure la A com a factor comx: p(x) = A(x^{2} + \frac{B}{A} x + \frac{C}{A} ), i desprxs ja podem procedir com abans.

Aplica-ho per completar el quadrat de p(x) = 2x^{2} + 3x − 4

Aplica-ho en general per p(x) = Ax^{2} + Bx + C

Dedueix del que has fet a (b) la manera de trobar els zeros de p(x).

5.0.2 Exerc-complQuad Hem vist a 4.0.2 que en completar el quadrat de Ax^{2} + Bx + C = 0 obtenim

. A (x − \frac{−B}{2A})^{2} + \frac{4AC − B^{2}}{4A} = 0

Axllant la x d’aquesta darrera expressix, has d’obtenir l’expressix habitual que fem servir per resoldre l’eqxacix de segon grau.

6 Suplements avanxats No crec que hi hagi temps de veure gaire cosa de polinomis generals (d’orde mxs gran de 2). Es pot referir els estudiants avanxats a:

S&H-MAE: XXX

IB-An$Appr

7 Exercicis per exxmens

7.0.1 Troba la transformacix

En el capxtol 3.5 Toma de decisiones y escasez del llibre de text de Introduccix a la Microeconomia apareix aquesta figura on es veu la frontera factible del problema de decissix que s’hi planteja. PIC

Utilitzant una funcix del tipus y = f(t) = A\sqrt{t}, quina transformacix hi podries aplicar per obtenir la frontera factible de la imatge?

Solucix: Podem partir de y = A\sqrt{t}, canviem el signe a la variable independent per fer una reflexix respecte l’eix vertical i li sumem 24 per desplaxar-la cap a la dreta i fer que el tall amb l’eix horitzontal sigui a x = 24. Tenim ara y = A\sqrt{24 − t}, per tal que y(0) = 90 caldrx prendre A = 90/\sqrt{24}