\documentclass{article}

\input{../latexDefs.tex}

\title{Funcions, equacions, inequacions}
\author{Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF}


\begin{document}

\maketitle{}

\tableofcontents{}

\enllacos

\section{Objectius d’aprenentatge}

\begin{itemize}
\item Concepte de funció, domini, recorregut, gràfica
\item Funcions lineals, equació de la recta, intersecció de rectes,
  equacions i inequacions lineals
\item Elements de programació lineal
\item La funció valor absolut, la funció $f(x)=|x|/x$
\item Funcions quadràtiques, paràboles, completar el quadrat,
  desplaçament de $y=x^2$.
\item Transformacions de gràfiques: reflexions en els eixos,
  translacions, canvis d'escala en els eixos
\item Ús de geogebra o eines equivalents en aquests items
\end{itemize}

\section{Prerequisits}

\begin{itemize}
\item Arrel quadrada, regles de potenciació
\item L'àlgebra elemental de resolució d'equacions lineals o de segon ordre
\item Les beceroles de geogebra
\end{itemize}

\section{Guia pel professor}



\subsection{Presentació del tema}

\subsection{Materials bàsics}

Les transparències d'Àngel Gil
\href{https://aulaglobal.upf.edu/mod/resource/view.php?id=354332}{Guia 1.
  Introducció.  Funcions}

Pels Elements de programació lineal, la secció 2.3 del PermRau.

Capítol 2 Functions de IB-HL-MAth-An\&Appr. També Capítol 2 Functions de IB-HL-MAth-Appl\&Interp. 




\section{Activitats autònomes}

\subsubsection{Fer gràfiques amb l'ordinador}

Amb Geogebra és fàcil, només escriure la definició, per exemple \verb|f(x)=abs(x)| o bé directament \verb/f(x)=|x|/, ja apareix el
seu gràfic a la finestra gràfica. Després podem decidir si volem veure'l o no amb el botnoet de color de l'esquerra, i podem
canviar-ne alguns comportament amb la opció \emph{Configurar} del menú $\vdots$ de la seva dreta.

Amb WolframAlpha, també és fàcil: escrivim \verb|plot abs(x), {x,-1,1}| i si no volem dir els límits de l'eix $x$ podem ometre la
segona part.

Amb \textbf{R} cal que la funció tingui un nom, i la variable independent no la donem. Si cal, haurem primer de definir la funció
i donar-li un nom. Prova aquestes comandes:

\begin{lstlisting}[language=R]
 plot.function(abs, from=-2, to=2)
  # podem definir el color o el gruix de la linia
  plot.function(abs, from=-2, to=2, col='red', lwd=3)
  # definim una funcio amb el nom i la variable independent que mes ens agradi
  la_meva_funcio = function(h) 2-abs(h)
  # i la dibuixem sobreposada amb la anterior
  plot.function(la_meva_funcio, from = -2, to=2, add = TRUE)
\end{lstlisting}

\href{figures/12grafiques.png}{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{figures/12grafiques.png}}


Practica una mica, hauries de ser capaç de reproduir aquests gràfics amb qualsevol dels paquets de software comentats. 

\QUIZZ
Fes correspondre a cada gràfica una de les definicions de sota i digues quines són les gràfiques que no poden correspondre a una
funció. De fet, hi
ha dues d'aquestes gràfiques que no poden ser la gràfica d'una funció, quines són?
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
  \hline
  $-3$ &$2x$&$-1/x$& $x^{1/3}$\\\hline
  $ -x+2$ & $-x^2+2$&$x^2+2$ &$x^3/2$\\\hline
  $x-2$ & $1/x$ & & 
\end{tabular}
\solucio{B: $x=-3$, K: $x^2+y^2=\sqrt{4}$ no són funcions $y=f(x)$}
\solucio{\href{figures/12graf-geogebra.png}{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{figures/12graf-geogebra.png}}}



\subsubsection{Completar el quadrat amb Geogebra}\label{sec:completar-el-quadrat}

\rightline{\parbox{10cm}{\emph{Aquest és un cas clar de tema que no es toca a classe, ni potser al
  seminari, se'ls fa treballar autònomament, se'ls pot preguntar als seminari si ho han fet, i pot
  sortir a un examen tipus pregunta curta.}.}}

Per interpretar correctament un polinomi quadràtic com ara $p(x)=x^2+3x-1$ és molt còmode competar
el quadrat, és a dir escriure'l en la forma $p(x)=(x-a)^2+b$. Aixó ho podem fer pas per pas així:
$$x^2+3x-1  =(x-a)^2+b \Rightarrow a=-3/2, x^2+3x-1  =(x-\frac32)^2+b \Rightarrow
b=-(3/2)^2-1=-13/4$$
i per tant $p(x)=x^2+3x-1 = (x-3/2)^2-13/4$

Podem entrar en Geogebra directament {\verb| p(x)=A (x-a)^2 + b|} i se'ns creen variables $A, a, b$ de
manera que després podem veure l'efecte de fer variar els seus valors. També podem posar {\verb|p0(x)=x^2|}
per tenir la referència de la paràbola estàndard. Fixa't que per Geogebra A i a són variables
diferents.

%\begin{figure}[h]
%  \htmlimage{width=0.6\textwidth}
%\href{figures/completarQuadrat.png}{\includegraphics[width=0.6\textwidth]{figures/completarQuadrat.png}}
\grafLink{completarQuadrat.png}
% \end{figure}

Fes-ho i contesta:


\QUIZZ
Quan fem variar $a$ la paràbola $p(x)$ es desplaça verticalment \SINO\\
Quan fem variar $b$, la paràbola $p(x)$ es desplaça verticalment \SINO\\
Si $a>0$ la paràbola $p(x)$ s'ha desplaçat a la dreta respecte la $p_0$ \SINO\\
Si $A<0$ la paràbola té les banyes cap avall \SINO\\
Si $A=0$ la paràbola sempre està a la part positiva de l'eix vertical \SINO\\
Mantenim $A=1$ i fem variar $b$. Llavors, la paràbola $p(x)$ té dos zeros si i només si $b<0$ \SINO

\QUIZZ
Observant que $p(x)=x^2+3x-1= (x-3/2)^2-13/4$, es pot deduir que\\
== $p(x)=0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{13/4} +3$\\
= $p(x)=0 \Leftrightarrow x = \pm (13/4)^2 +3$\\
= $p(x)=0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{13/4} - 3$\\
= cap de les anteriors

De fet, Geogebra ens pot fer la compleció del quadrat automàticament. Asseguraeu-vos que esteu en la finestra CAS de Geogebra (CAS
vol dir Computer Algebra System, Sistema de computació algèbrica, algunes versions de Geogebra en diuen directament la \emph{Finestra Algebraica}). A la finestra CAS les lletres es tracten com a símbols que
poden representar nombres però que no tenen un valor fix, tal com ho fem en l'àlgebra habitual.

Llavors podreu provar coses com això

\grafLink{compltQuadGeog.png}


\subsubsection{Desigualtats lineals}


\subsubsection{Programació lineal: enfocament gràfic}

Es pot repassar el que saben de representació gràfica de rectes i de desigualtats lineals per introduir les idees bàsiques de la
programació lineal. Es pot seguir la línia de \href{figures/permRau-p26-35.pdf}{PembRau, cap. 2.2 i 2.3, pàgines 26-35}.



\section{Llista d’exercicis}

\subsubsection{Exerc-complQuad}\label{sec:exerc-complquad}

En el cas que tinguem $p(x)=Ax^2+Bx+C$, amb $A\neq 1$ per completar el quadrat com hem fet a
\ref{sec:completar-el-quadrat} caldrà primer treure la $A$ com a factor comú: $p(x)=A(x^2+\frac{B}{A}
x+\frac{C}{A})$, i després ja podem procedir com abans.
\begin{itemize}
\item[(a)] Aplica-ho per completar el quadrat de $p(x)=2x^2+3x-4$
\item[(b)] Aplica-ho en general per $p(x)=Ax^2+Bx+C$
\item[(c)] Dedueix del que has fet a (b) la manera de trobar els zeros de $p(x)$.
\end{itemize}

\subsubsection{Exerc-complQuad}\label{sec:exerc-complquad-dos}

Hem vist a \ref{sec:completar-el-quadrat} que en completar el quadrat de $Ax^2+Bx+C=0$ obtenim
$$A\left(x-\frac{-B}{2A}\right)^2+\frac{4AC-B^2}{4A}=0$$
Aïllant la $x$ d'aquesta darrera expressió, has d'obtenir l'expressió habitual que fem servir per resoldre l'eqüació de segon grau.


\section{Suplements avançats}

No crec que hi hagi temps de veure gaire cosa de polinomis generals (d'orde més gran de 2). Es pot
referir els estudiants avançats a:
\begin{enumerate}
\item S\&H-MAE: XXX
\item IB-An\$Appr
\end{enumerate}

\section{Exercicis per exàmens}

\subsubsection{Troba la transformació}

En el capítol \emph{3.5 Toma de decisiones y escasez} del llibre de text de
Introducció a la Microeconomia apareix aquesta figura on es veu la frontera factible del problema de decissió que s'hi planteja.\\
\href{figures/figure-03-10-a-g.jpg}{\includegraphics[width=0.6\textwidth]{figures/figure-03-10-a-g.jpg}}

Utilitzant una funció del tipus $y=f(t)=A \sqrt{t}$, quina transformació hi podries aplicar per obtenir la frontera factible de la
imatge?

\solucio{Podem partir de $y=A \sqrt{t}$, canviem el signe a la variable independent per fer una reflexió respecte l'eix vertical i
  li sumem $24$ per desplaçar-la cap a la dreta i fer que el tall amb l'eix horitzontal sigui a $x=24$.
  Tenim ara $y=A \sqrt{24-t}$, per tal que $y(0)=90$ caldrà prendre $A=90/\sqrt{24}$}

\end{document}
