xxFuncions (II) Potencials, desigualtats, inequacions

Funcions (II) Potencials, desigualtats, inequacions

Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF

25xde marx dex2021

xndex

1 Objectius d’aprenentatge 2 Prerequisits 3 Guia pel professor x3.1 Presentacix del tema x3.2 Materials bxsics 4 Activitats autxnomes xx4.0.1 Videos sobre composicix de funcions xx4.0.2 Funcions compostes xx4.0.3 Funcions potencials xx4.0.4 Desigualtats amb potencials xx4.0.5 Una funcix de produccix potencial xx4.0.6 Corbes de isonivell 5 Llista d’exercicis xx5.0.1 Desigualtats amb potencials xx5.0.2 Exercici 6 Suplements avanxats 7 Exercicis per exxmens

Aquest xs un document de treball INTERN, en fase de discussix i molt preliminar. No en feu difussix, sisplau.

(Enllax al document principal) (Enllax a la versix pdf d’aquest document) (Enllax a la font LaTeX) (Enllax als fitxers de les figures)

1 Objectius d’aprenentatge

Composicix de funcions, funcix inversa

Funcions potencials, y = ax^{b} comportament segons els valors de a, b

Corbes d’isonivell

Desigualtats, inequacions

Encara transformacions de grxfiques

2 Prerequisits

3 Guia pel professor

Es tracta d’ampliar el que s’ha vist al tema I-2 afegint conceptes importants com la composicix, la inversa.

Les funcions potencials apareixen constantment en el model econxmics que estan estudiant en paralel a IntroMicro. En particular, les corbes de isobenefici i similars. Per aixx convx introduir ja la idea de corba de nivell sense entrar gaire en les funcions de dues variables.

3.1 Presentacix del tema 3.2 Materials bxsics

4 Activitats autxnomes

4.0.1 Videos sobre composicix de funcions De la Kahn Academy: Introduction to function composition — Functions and their graphs — Algebra II — Khan Academy (6min) Evaluating composite functions example — Functions and their graphs — Algebra II — Khan Academy (4min) Creating new function from composition — Functions and their graphs — Algebra II — Khan Academy (3 min) Sobre funcix inversa: Introduction to function inverses — Functions and their graphs — Algebra II — Khan Academy (9 min) Desprxs de veure aquests videos, respxn aquestes qxestions: QUIZZ Si f(x) = |x| i g(x) = x − 2 i posem h = f ∘ g (ho llegim f desprxs de g) aleshores ==h(x) = |x − 2| = h(x) = |x| − 2 = qualsevulla de les dues pot ser veritat.

4.0.2 Funcions compostes

Aquest seria un tema ideal per fer-lo treballar autxnomament. Si no es tx accxs al llibre An$Appr, caldria fer-ne una versix prxpia, en Mates I comenxariem amb un nivell com aquest.

Llegeix i practica les pxgines 24-28 del llibre IB-HL-AnAppr: PIC PIC PIC PIC PIC PIC Les solucions: PIC

4.0.3 Funcions potencials Fes correspondre cada grxfica a cadascuna de les funcions potencials que es llisten: PIC . F1 : 3x^{−3}; F2 : x^{−1}; F3 : x^{0.5} ; F4 : x^{−2}; F5 : x^{0.2} ; F6 : x^{2}

Solucix: PIC

4.0.4 Desigualtats amb potencials

Prenem aquests fet sense demostracix:

Si x < y i a > 0 aleshores ax < ay.

Si x < y i a < 0 aleshores ax > ay.

Si x < y, aleshores x^{−1} > y^{−1}

A partir d’aixx, podem per exemple, demostrar que Fet 4: Si 0 < x < y i 0 < a < b aleshores ax < by. Demostracix Multiplicant 0 < x < y per a i 0 < a < b per y, obtenim ax < ay i ay < by del que es desprxn que ax < by. □

Ara podem fer servir el Fet 4 per demostrar que Fet 5: Si 0 < x < y aleshores x^{2} < y^{2} i tambx x^{n} < y^{n} per qualsevol nombre natural n > 0. La demostracix xs immediata, nomxs cal multiplicar la primera desigualtat del Fet 4 per ella mateixa, i per demostrar la segona part caldrx multiplicar-la per ella mateixa n vegades. □

El Fet 3 es pot veure clar grxficament: la grxfica de la funcix y = 1/x xs sempre decreixent, xs a dir, si ens desplacem d’esquerra a dreta , els valors de y creixents, la grxfica “fa sempre baixada”. Comprova-ho ara fent la grxfica amb Geogebra o similar.

Aquest Fet 3 es pot demostrar per contradiccix: si fos cert que x < y i que x^{−1} < y^{−1}, multiplicant les dues expressions i segons el Fet 4, tindriem 1 < 1 que xs ben fals!

Wolfram Alpha resol les inequacions, tot i que de vegades el resultat que dona pot ser difxcil d’interpretar. Com interpretes aquest resultat? Intenta resoldre tu la ineqxacix

.  x^{0.2} y^{0.8} < 2  i

comprova-ho.

PIC

4.0.5 Una funcix de produccix potencial De fet aqux R xs una micaprematur, si estem a la setmana 3 del curs potser encara no l’han vist gaire.

En el tema 3.1 Trabajo y produccixn del llibre de text de Introduccix a la macroeconomia heu vist un exemple de funcix de produccix del tipus y = f(h) = Ah^{α} amb A > 0 i 0 < α < 1.

Dibuixa amb Geogebra o amb R el grxfic d’aquesta funcix per diferents valors de A i de α.

Amb R pots fer servir aquest codi (copia’l a la finestra del R Script per poder modificar-lo)

xxAx<-x2xxxalphax<-x0.3xxxfx<-xfunction(h)xA*h^alphaxxxplot.function(f,xfrom=0,xto=15)xxxPMTx<-xfunction(h)xA*alpha*h^(alpha-1)xxxPMeTx<-xfunction(h)xf(h)/hxxxh1x<-x10xxx#xperxdibuixarxlaxrectaxdelxproductexmitjaxdelxtreballxperxh1xxxabline(0,xPMeT(h1))xxx#xperxdibuixarxlaxtangentxenxelxpuntxd'abcisaxh2xxxh2x<-x4xxxabline(a=f(h2)x-xh2*PMT(h2),xb=PMT(h2))

En Geogebra, hauries de ser capax de reproduir aixx:

PIC

(solucix: vegeu https://www.geogebra.org/calculator/z5gbxwvt)

QUIZZ En R, fem servir la ordre abline(a, b) = per dibuixar la recta que passa per a i per b = per dibuixar la recta de pendent b i que talla l’eix horitzontal per x = a == per dibuixar la recta de pendent b i que talla l’eix vertical per y = a = cap de les altres

QUIZZ Per dibuixar el producte mitjx del treball fem servir la ordre Derivada = tant en R com en Geogebra == en Geogrbra, perx no en R =en R perx no en Geogebra = en cap dels dos.

QUIZZ La funcix de produccix que planteja el Leibniz que has llegit xs tal que si Alexei dedica moltxssimes hores de treball, mai aconseguirx superar la qualificacix de 9. La funcix que fa servir desprxs en l’exemple = s’assembla a la desitjada perx permetria que Alexei obtinguxs mxs de 20 si hi dediquxs unes 300 hores == per obtenir un 10 hauria de dedicar-hi unes 214 hores = per resoldre l’equacix f(h) = 10 cal fer servir logaritmes.

4.0.6 Corbes de isonivell

Sovint tenim dues quantitats x, y lligades per una funcix y = f(x) perx que tambx ens donen una tercera quantitat z = f(x, y), xs a dir, que donats valors de x, y podem calular el valor z associat. Aixx ho esteu trobant en exemples aplicats a la microeconomia.

Per exemple, refresca el capxtol 3.2 Preferencias i en concret el Leibniz sobre les corbes d’indiferencia on es considera la funcix d’utilitat U(t, y) on t sxn les hores de temps lliure d’Alexei, i y xs la nota de l’examen que obtx i que depxn de les hores que no dediqui a temps lliure: y = y(t).

PIC PIC La formulacix matemxtica que proposen: U(t, y) = t^{α} y^{β} (xs una funcix tipus Cobb-Douglas).

Les corbes d’indiferxncia U(t, y) = c sxn els punts on la utilitat xs la mateixa, c, en diem tambx corbes de nivell o corbes de isonivell. En la figura pots veure com visualitzar les corbes d’isonivell en Geogebra.

Si tenim U(t, y) = c, com que U(t, y) = t^{α} y^{β} , podem expressar y en funcix de t. Per axllar la y en t^{α} y^{β} = c dividim a le dues bandes per t^{α} i tenim y^{β} = ct^{−α} i si ara elevem els dos termes de la igualtat a 1/β, tenim

. (y^{β} )^{1/β} = (ct^{−α} )^{1/β} , és a dir, y = c^{−α} t^{−α/β}

QUIZZ Aplica aixx al cas U(t, y) = \sqrt{ty}. Obtindrem: == y = c^{2}t^{−1} = y = ct^{−1} = y = ct^{−2} = cap de les anteriors

Tornarem a aquest exemple mxs endavant per discutir aspectes associats amb les derivades.

5 Llista d’exercicis

Si f(x) = ax + b i g(x) = cx + d i es compleix f ∘ g = g ∘ f, demostra que (a − 1)d = (c − 1)b.

Si f(x) = x^{a}, calcula i simplifica f(f(x)).

Si f(x) = x^{a}, calcula i simplifica f^{−1}(x).

Si f(x) = x^{a} i g(x) = x^{b} demostra que es compleix f ∘ g = g ∘ f.

5.0.1 Desigualtats amb potencials

Fent servir els fets expressats a 4.0.4, demostra que:

Si 0 < x < y, per tota n > 1, x^{−n} > y^{−n} Explica, a partir de la seva grxfica, si la funcix y = x^{a} per x > 0 i amb a > 0 xs creixent o decreixent segons siguin els valors de a.

En el context i notacions de 4.0.6 i suposant t, y > 0 com xs habitual en Micoreconomia, axlla la t de la inequacix U(t, y) < c. Tingues bx en compte els fets sobre desigualtats i potxncies que hem vist abans (4.0.4)

5.0.2 Exercici

6 Suplements avanxats

7 Exercicis per exxmens