\documentclass{article}

% /opt/local/bin/latex2html -split 0  activitats.tex

% scp -rp * pascal.upf.edu:math21/temes/


\input{../latexDefs.tex}

\title{Funcions (II) Potencials, desigualtats, inequacions}
\author{Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF}


\begin{document}

\maketitle{}

\tableofcontents{}

\enllacos

\section{Objectius d’aprenentatge}

\begin{itemize}
\item Composició de funcions, funció inversa
\item Funcions potencials, $y=ax^b$ comportament segons els valors de
  $a,b$
\item Corbes d'isonivell
\item Desigualtats, inequacions
\item Encara transformacions de gràfiques
\end{itemize}

\section{Prerequisits}



\section{Guia pel professor}

Es tracta d'ampliar el que s'ha vist al tema I-2 afegint conceptes importants com la composició, la inversa.

Les funcions potencials apareixen constantment en el model econòmics que estan estudiant en paralel a IntroMicro. En particular,
les corbes de isobenefici i similars. Per això convé introduir ja la idea de corba de nivell sense entrar gaire en les funcions
de dues variables.

\subsection{Presentació del tema}

\subsection{Materials bàsics}

\section{Activitats autònomes}

\subsubsection{Videos sobre composició de funcions}

De la Kahn Academy:

\href{https://www.youtube.com/watch?v=wUNWjd4bMmw}{Introduction to function composition | Functions and their graphs | Algebra II
  | Khan Academy} (6min)

\href{https://www.youtube.com/watch?v=jlID_mIJXi4}{Evaluating composite functions example | Functions and their graphs | Algebra
  II | Khan Academy} (4min)

\href{https://www.youtube.com/watch?v=_b-2rZpX5z4}{Creating new function from composition | Functions and their graphs | Algebra
  II | Khan Academy} (3 min)

Sobre funció inversa: \href{https://www.youtube.com/watch?v=W84lObmOp8M}{Introduction to function inverses | Functions and their
  graphs | Algebra II | Khan Academy} (9 min)

Després de veure aquests videos, respón aquestes qüestions:

\QUIZZ
Si $f(x)=|x|$ i $g(x)=x-2$ i posem $h=f\circ g$ (ho llegim $f$ \emph{després de} $g$)
aleshores\\
==$h(x)= |x-2|$\\
= $h(x)=|x|-2$\\
= qualsevulla de les dues pot ser veritat.





\subsubsection{Funcions compostes}

\comentari{Aquest seria un tema ideal per fer-lo treballar autònomament. Si no es té accés al llibre An\$Appr, caldria fer-ne una
  versió pròpia, en Mates I començariem amb un nivell com aquest.}

Llegeix i practica les pàgines 24-28 del llibre IB-HL-AnAppr:

\grafLink{AnAppr-page24.png}
\grafLink{AnAppr-page24.png}
\grafLink{AnAppr-page25.png}
\grafLink{AnAppr-p26.png}
\grafLink{AnAppr-p27.png}
\grafLink{AnAppr-p28.png}

Les solucions: \grafLink{analysis-and-approaches_hl_worked-solutions_ch1-3.pdf}

\subsubsection{Funcions potencials}

Fes correspondre cada gràfica a cadascuna de les funcions potencials que es llisten:

\href{figures/unesPotencials.png}{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{figures/unesPotencials.png}}
$$F1: 3x^{-3};\quad F2: x^{-1};\quad F3: x^{0.5};\quad F4: x^{-2};\quad F5: x^{0.2};\quad F6:  x^2$$
\solucio{\href{figures/unesPotencials-solucio.png}{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{figures/unesPotencials-solucio.png}}}

\subsubsection{Desigualtats amb potencials}\label{sec:desig-amb-potenc}

Prenem aquests fet sense demostració:
\begin{itemize}
\item[Fet 1] Si $x<y$ i $a>0$ aleshores $ax< ay$.
\item[Fet 2] Si $x<y$ i $a<0$ aleshores $ax> ay$.
\item[Fet 3] Si $x<y$, aleshores $x^{-1}>y^{-1}$ 
\end{itemize}

A partir d'això, podem per exemple, demostrar que\\
\textbf{Fet 4: Si $0<x<y$ i $0<a<b$ aleshores $ax< by$. }\\
\emph{Demostració}\\
Multiplicant $0<x<y$ per $a$ i $0<a<b$ per $y$, obtenim $ax<ay$ i $ay<by$ del que es desprén que $ax<by$. \qed

Ara podem fer servir el Fet 4 per demostrar que\\
\textbf{Fet 5: Si $0<x<y$ aleshores $x^2<y^2$ i també $x^n<y^n$ per qualsevol nombre natural $n>0$.}
La demostració és immediata, només cal multiplicar la primera desigualtat del Fet 4 per ella mateixa, i per demostrar la segona
part caldrà multiplicar-la per ella mateixa $n$ vegades. \qed

El Fet 3 es pot veure clar gràficament: la gràfica de la funció $y=1/x$ és sempre decreixent, és a dir, si ens desplacem
d'esquerra a dreta , els valors de $y$ creixents, la gràfica ``fa sempre baixada''. Comprova-ho ara fent la gràfica amb Geogebra o
similar.

Aquest Fet 3 es pot demostrar per contradicció: si fos cert  que  $x<y$ i que $x^{-1}<y^{-1}$, multiplicant les dues expressions i
segons el Fet 4, tindriem $1<1$ que és ben fals!

\begin{multicols}{2}
  Wolfram Alpha resol les inequacions, tot i que de vegades el resultat que dona pot ser difícil d'interpretar. Com interpretes
  aquest resultat? Intenta resoldre tu la ineqüació $$x^{0.2} y^{0.8} < 2$$ i comprova-ho.
  
\grafLink{ineq-pot-w-alpha.png}
\end{multicols}


\subsubsection{Una funció de producció potencial}

\rightline{\parbox{10cm}{\emph{De fet aquí R és una micaprematur, si estem a la setmana 3 del curs
      potser encara no l'han vist gaire.}}}

En el tema
\href{https://www.core-econ.org/the-economy/book/es/text/03.html}{3.1
  Trabajo y producción} del llibre de text de Introducció a la
macroeconomia heu vist \href{https://tinyco.re/3881234}{un exemple de
  funció de producció} del tipus $y=f(h)=A h^\alpha$ amb $A>0$ i
$0<\alpha<1$.

Dibuixa amb Geogebra o amb R el gràfic d'aquesta funció per diferents
valors de $A$ i de $\alpha$.

Amb R pots fer servir aquest codi (copia'l a la finestra del R Script
per poder modificar-lo)
\begin{lstlisting}[language=R]
  A <- 2
  alpha <- 0.3
  f <- function(h) A*h^alpha
  plot.function(f, from=0, to=15)
  PMT <- function(h) A*alpha*h^(alpha-1)
  PMeT <- function(h) f(h)/h
  h1 <- 10
  # per dibuixar la recta del producte mitja del treball per h1
  abline(0, PMeT(h1))
  # per dibuixar la tangent en el punt d'abcisa h2
  h2 <- 4
  abline(a=f(h2) - h2*PMT(h2), b=PMT(h2))
\end{lstlisting}

En Geogebra, hauries de ser capaç de reproduir això:

%\begin{figure}[h]
 % \htmlimage{width=0.6\textwidth}
 \href{figures/leib-3-1-1.png}{ \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figures/leib-3-1-1.png}}
%\end{figure}



(solució: vegeu \url{https://www.geogebra.org/calculator/z5gbxwvt})

{\bf QUIZZ}\\
En R, fem servir la ordre {\tt abline(a, b)}\\
= per dibuixar la recta que passa per $a$ i per $b$\\
= per dibuixar la recta de pendent $b$ i que talla l'eix horitzontal per $x=a$\\
== per dibuixar la recta de pendent $b$ i que talla l'eix vertical per $y=a$\\
= cap de les altres

{\bf QUIZZ}\\
Per dibuixar el producte mitjà del treball fem servir la ordre {\tt Derivada}\\
= tant en R com en Geogebra\\
== en Geogrbra, però no en R\\
=en R però no en Geogebra\\
= en cap dels dos.

\QUIZZ
La funció de producció que planteja  \href{https://tinyco.re/3881234}{el {\em Leibniz}} que has
llegit és tal que si Alexei dedica moltíssimes hores de treball, mai aconseguirà superar la
qualificació de $9$. La funció que fa servir després en l'exemple\\
= s'assembla a la desitjada però permetria que Alexei obtingués més de 20 si hi dediqués unes 300 hores\\
== per obtenir un 10 hauria de dedicar-hi unes 214 hores\\
= per resoldre l'equació $f(h)=10$ cal fer servir logaritmes.



\subsubsection{Corbes de isonivell}\label{sec:corbes-de-isonivell}

Sovint tenim dues quantitats $x, y$ lligades per una funció $y=f(x)$ però que també ens donen una tercera quantitat $z=f(x,y)$,
és a dir, que donats valors de $x, y$ podem calular el valor $z$ associat. Això ho esteu trobant en exemples aplicats a la
microeconomia.

Per exemple, refresca el capítol \href{https://www.core-econ.org/the-economy/book/es/text/03.html#32-preferencias}{3.2
  Preferencias} i en concret el \emph{Leibniz} \href{https://tinyco.re/0901635}{sobre les corbes d'indiferencia} on es considera
la funció d'utilitat $U(t,y)$ on $t$ són les hores de temps lliure d'Alexei, i $y$ és la nota de l'examen que obté i que depèn de les
hores que no dediqui a temps lliure: $y=y(t)$.

\grafLink{figure-03-06-g.jpg}
\grafLink{cobb-dougles-ggebra.png}


La formulació matemàtica que proposen: $U(t,y)=t^\alpha y^\beta$ (és una funció tipus Cobb-Douglas).

Les corbes d'indiferència $U(t,y)=c$ són els punts on la utilitat és la mateixa, $c$, en diem també corbes de nivell o corbes de
isonivell. En la figura pots veure com visualitzar les corbes d'isonivell en Geogebra.

Si tenim $U(t,y)=c$, com que  $U(t,y)=t^\alpha y^\beta$, podem expressar $y$ en funció de $t$. Per aïllar la $y$ en  $t^\alpha
y^\beta=c$ dividim a le dues bandes per $t^\alpha$ i tenim  $y^\beta = c t^{-\alpha}$ i si ara elevem els dos termes de la
igualtat a $1/\beta$, tenim
$$\left(y^\beta\right)^{1/\beta} = \left(c t^{-\alpha}\right)^{1/\beta}, \quad\mbox{és\ a\ dir}, \quad y=c ^{-\alpha}
t^{-\alpha/\beta}$$

\QUIZZ
Aplica això al cas $U(t,y)=\sqrt{t y}$.\\ Obtindrem:\\
== $y=c^2 t^{-1}$\\
= $y=c t^{-1}$\\
= $y=c t^{-2}$\\
= cap de les anteriors

Tornarem a aquest exemple més endavant per discutir aspectes associats amb les derivades.

\section{Llista d’exercicis}

\begin{enumerate}
\item Si $f(x)=ax+b$ i $g(x)=cx+d$ i es compleix $f\circ g = g\circ f$, demostra que $(a-1)d = (c-1) b$.
\item Si $f(x)=x^a$, calcula i simplifica $f(f(x))$.
\item Si $f(x)=x^a$, calcula i simplifica $f^{-1}(x)$.
\item Si $f(x)=x^a$ i $g(x)=x^b$ demostra que es compleix $f\circ g = g\circ f$.
\end{enumerate}

\subsubsection{Desigualtats amb potencials}

\begin{enumerate}
\item 
Fent servir els fets expressats a \ref{sec:desig-amb-potenc}, demostra que:\\
\textbf{Si $0<x<y$, per tota $n>1$, $x^{-n}>y^{-n}$}
\item Explica, a partir de la seva gràfica, si la funció $y=x^a$ per $x>0$ i amb $a>0$ és creixent o decreixent segons siguin els valors de $a$.
\item En el context i notacions de \ref{sec:corbes-de-isonivell} i 
suposant $t, y>0$ com és habitual en Micoreconomia, aïlla la $t$ de la inequació $U(t,y)<c$. Tingues bé en compte els fets sobre
desigualtats i potències que hem vist abans (\ref{sec:desig-amb-potenc})
\end{enumerate}


\subsubsection{Exercici}

\section{Suplements avançats}

\section{Exercicis per exàmens}



\end{document}
