xxLmits i continutat

Lxmits i continuxtat

Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF

25xde marx dex2021

xndex

1 Objectius d’aprenentatge 2 Prerequisits 3 Guia pel professor x3.1 Presentacix del tema x3.2 Materials bxsics 4 Activitats autxnomes xx4.0.1 Lxmits de successions xx4.0.2 Successions a Geogebra i R xx4.0.3 Lxmits de funcions xx4.0.4 Funcions a trossos xx4.0.5 Comissions al venedor 5 Llista d’exercicis xx5.0.1 Acabar 4.0.5 6 Suplements avanxats 7 Exercicis per exxmens

Aquest xs un document de treball INTERN, en fase de discussix i molt preliminar. No en feu difussix, sisplau.

(Enllax al document principal) (Enllax a la versix pdf d’aquest document) (Enllax a la font LaTeX) (Enllax als fitxers de les figures)

1 Objectius d’aprenentatge

Consolidar el qux s’ha vist en els darrers temes sobre les funcions d’una variable

Introduir la idea de lxmit d’una successix, sense formalitzar

Alguns exemples d’aplicacix de lxmit de successions

Lxmit d’una funcix d’una variable com a lxmit de f(x_{n} ) per qualsevol successix x_{n} )

Lxmits i operacions: suma, producte, quocient

Funcix continua, discontinuxtats inifinites, de salt, evitables.

Exemples de discontinuxtats de salt

Continuxtat i operacions: composicix, suma, producte, quocient

2 Prerequisits

Coneixen la idea de progressix aritmxtica i geomxtrica. I de la suma de progressions. Si no, poden repassar-ho a IBD-HL-An&App 3.2 i 3.3.

3 Guia pel professor

Encara que introduxm els conceptes de lxmits de successions i de funcions, no pretenem entrar en el cxlcul de lxmits mxs enllx de l’enfocament grxfic i dels casos mxs senzills. Preferim tractar la idea de lxmit d’una successix, de successix convergent, oscil·lant o divergent i entrar breument a la de subsuccessix, mxs que no pas el cxlcul de lxmits mxs enllx dels elementals: potxncies, exponencials i logaritmes.

3.1 Presentacix del tema Es poden presentar exemples que facin reflexionar sobre la idea d’aproximar-se a un valor sense arribar-hi mai: Aquiles i la tortuga, menjar-se la meitat que queda del pastxs, etc. Tambx exemples de creixement assimptxtic, interxs compost, etc. Es donaran les regles bxsiques de cxlcul de lxmits: suma, diferxncia, producte i quocient. Sx que cal que tinguin clar els ordres de creixement: log < x^{n} < exp. Una visix rxpida de la idea de continuxtat, primer a nivell grxfic i desprxs amb lxmits, lxmits laterals, etc. Exemples de funcions definides per trams, IRPF?

3.2 Materials bxsics S&H-MAE Capxtol 6. IBD-HL-An&App Capxtol 3

4 Activitats autxnomes

4.0.1 Lxmits de successions Per entendre el concepte de lxmit, xs xtil comenxar amb lxmits de successions. Les successions sxn QUIZZ Exercicis semblants a PIC

4.0.2 Successions a Geogebra i R Amb Geogebra tenim la comanda Seqxxncia que admet diversos arguments:PIC i que ens permet fer coses com ara: PIC. Amb R, podem aplicar la majoria d’expressions directament a seqxxncies de nombres. Primer definim la seqxxncia amb la funcix seq o amb la notacix abreujada N:M.

>xs1x<-x1:10x>xs1xx[1]xx1xx2xx3xx4xx5xx6xx7xx8xx9x10x>xs2x<-xseq(1,10)x>xs2xx[1]xx1xx2xx3xx4xx5xx6xx7xx8xx9x10x>xs3x<-xseq(from=1,xto=50,xby=x7)x>xs3x[1]xx1xx8x15x22x29x36x43x50x>xs4x<-xseq(from=1,xto=500,xby=x50x)x>xs4xx[1]xxx1xx51x101x151x201x251x301x351x401x451

Un cop tenim la seqxxncia, podem aplicar-hi el cxlcul que vulguem, per exemple, per calcular (n-2)/(n+5)

>x(s2-2)/(s2+5)xx[1]x-0.1666667xx0.0000000xx0.1250000xx0.2222222xx0.3000000xx0.3636364xx0.4166667xx0.4615385xx0.5000000x0.5333333x>x(s4-2)/(s4+5)xx[1]x-0.1666667xx0.8750000xx0.9339623xx0.9551282xx0.9660194xx0.9726562xx0.9771242xx0.9803371xx0.9827586x0.9846491

I per dibuixar la seqxxncia, podem fer

s5x=xseq(1,300)xplot(x=s5,xy=(s5-2)/(s5+5),xtype="p")

per obtenir PIC

Ara et toca a tu:

4.0.3 Lxmits de funcions

Un video senzill per comenxar: Introduction to Limits (NancyPi) (12min) PIC

O aquest altre: Limits and Continuity (KristaKingMath) (9min)

QUIZZ Marca la correcta: = Per saber el lxmit de f(x) quan x tendeix a u, cal conxixer el valor de la funcix per x = 1 = El valor del lxmit de f(x) quan x tendeix a u no depxn dels valors de x per xx1 == El valor del lxmit de f(x) quan x tendeix a u no depxn del valor de f(1) = Cap de les anteriors

Un video amb una aproximacix grxfica al lxmits aproximacix grxfica al lxmits (3 min) i un altre als lxmits laterals: Evaluate all the limits from a given graph by Brian McLogan (5 min)

QUIZZ XXX

Encara un video sobre els lxmits laterals i l’existxncia del lxmit: How to prove that the limit does not exist (KristaKingMath) (6 min)

4.0.4 Funcions a trossos

Hi ha situacions en qux el valor de una quantitat (salari) depxn de una altra (vendes realitzades) segons trams en qux s’apliquen coeficients diferents.

Comenxa mirant-te aquest video: Limite de una funcixn a trozos: Ejercicio Resuelto.

QUIZZ La funcix que apareix al video: = xs continua = tx una discontinuxtat evitable == tx una discontinuxtat de salt = cap de les anteriors xs veritat.

Vegem com podem representar una tal funcix en Geogebra: Caldrx que teclejem f(x)=Si(x>1,x-2,x^(2)). Fes-ho i veurxs la grxfica trencada en dos trossos.

En R ho fem de manera similar:

fx<-xfunction(x)xifelse(x>1,xx-2,xx^2)xplot.function(f,xfrom=0,xto=4)

PIC Qux passa amb R? No ho sap fer tant bx com Geogebra! Perqux ens dibuixa una vertical en el salt? I a mxs si t’hi fixes no xs ben bx vertical!

De fet, tant R com Geogebra el que fan per dibuixar la grxfica d’una funcix xs prendre una sxrie de valors de x, calcular els corresponents f(x) i unir els punts obtinguts amb una linia. Geogebra (els seus programadors) pensent mxs en els estudiants i miren si hi ha algun salt important i eliminen la linia que uneix els punts en el salt. Si volem veure els punts que R ha calculat abans que els uneixi amb la linia, podem demanar plot.function(f,xfrom=0,xto=4,xtype="p"), xs a dir que volem un grxfic tipus “p”, de punts. Fes-ho i veurxs el que ha fet R quan els ha unit. Ara s’entxn perqux la vertical no era del tot vertical, oi? Podem demanar a R que calculi molts mxs punts i llavors el salt serx gairebxvertical:

plot.function(f,xfrom=0,xto=4,xn=1000).

Tornem a Geogebra. Hi ha dues eines intressants: LxmitDreta i LxmitEsquerra. Si has definit abansf(x), ara pots demanar

LimitDreta(f,1) i LimitEsquerra(f,1). Qux obtens?

QUIZZ Entra a Geogebra, amb la Calculadora CAS, la definicix de f a trossos com estem dient i respon:

= LimitDreta(f,2) i LimitEsquerra(f,2) dona valors diferents
= LimitDreta(f,1) i LimitEsquerra(f,1) dona valors iguals
== LimitDreta(f,1) i LimitEsquerra(f,1) dona valors diferents

= Cap de les anteriors xs veritat.

4.0.5 Comissions al venedor

Un venedor de samarretes cobra una comissix per cada samarreta que ven, perx aquesta comissix depxn de la quantitat que n’hagi venut al llarg del mes: si ven menys de 10 samarretes li toca el 1%, si en ven entre 100 i 500 li correspon el 3% del total, i si en ven mxs de 500 cobrarx el 5% del que hagi venut. El preu de venda de la samarreta xs de 10 euros.

Expressa algxbricament la funcix a trossos C(v) que dona la comissix que li toca al venedor per v samarretes venudes. Dibuixa el seu grxfic amb Geogebra o R.

PIC

Una empresa de la competxncia li ofereix el segxent tracte: Fins a 150 samarretes, un 1% de les vendes, entre 150 i 500 samarretes s’hi afegirx un 3% de les que vengui per sobre de 150, i si ven mxs de 400, hi afegiran un 5% de les que vengui per sobre de 400. Les samarretes d’aquesta empresa es venen per 12 euros.

Defineix la nova funcix i decideix quina li surt mxs a compte.

Cx<-xfunction(v){xxxifelse(v<100,xxxxxxxxxx0.01x*10*v,xxxxxxxxxxifelse(v<500,xxxxxxxxxxxxxxxxx0.03*10*v,xxxxxxxxxxxxxxxxx0.05*10*v))}xplot.function(C,xfrom=0,xto=800,n=1000)xxC2x<-xfunction(v)xxifelse(v<150,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx0.01x*12*v,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxifelse(v<500,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx0.01x*12*150x+x0.04*12*(v-150),xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx0.01x*12*150x+x0.04*12*(500-150)x+x0.07*12*(v-500)))xplot.function(C2,xfrom=0,xto=800,n=1000,xcol="blue",xadd=TRUE)

QUIZZ La funcix C_{2} que dona les comissions que cobraria en Marc si marxxs a la competxnica, = no xs continua perqux depxn del nombre de samarretes = xs continua i derivable = xs continua perx no xs derivable perqux hi ha un punt en que no tx derivada == no xs derivable en dos punts del seu domini.

PIC

Sembla clar que segons vengui una quantitat de samarretes o altres li surt mxs a compte l’empresa actual o la de la competxncia.

No hauries de tenir molts problemes per calcular els punts de tall de les grxfiques, t’ho demanem a l’exercici de mxs avall.

5 Llista d’exercicis

5.0.1 Acabar 4.0.5 A l’activitat 4.0.5 hem vist grxficament que la funcix C_{2} surt mxs a compte que la funcix C per alguns valors del nombre v de samarretes que en Marc vengui. Digues quins sxn els intervals per v on C_{2}(v) > C(v). Solucix amb R (mosques a canonades)

x>xC2menysCx<-xfunction(v)xC2(v)-C(v)xx>xz1x<-xuniroot(C2menysC,xc(10,200),xtol=1e-10)x>xz2x<-xuniroot(C2menysC,xc(200,400),xtol=1e-10)x>xz3x<-xuniroot(C2menysC,xc(400,600),xtol=1e-10)x>xz4x<-xuniroot(C2menysC,xc(600,800),xtol=1e-10)x>xprint(paste(z1$root,xz2$root,xz3$root,z4$root))x[1]x"99.9999999999405x300x499.999999999915x688.235294117647"

Per tant, hem trobat que C_{2} estx per sobre C en els intervals (0, 100), (300, 500) i (688.23, ).

6 Suplements avanxats

7 Exercicis per exxmens