xxTeoremes de Bolzano, valors extrems

Teoremes de Bolzano, valors extrems

Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF

25xde marx dex2021

xndex

1 Objectius d’aprenentatge 2 Prerequisits 3 Guia pel professor x3.1 Presentacix del tema x3.2 Materials bxsics xx3.2.1 Good Questions 4 Activitats autxnomes xx4.0.1 Teorema de Bolzano xx4.0.2 act1 5 Llista d’exercicis xx5.0.1 Exercici 6 Suplements avanxats 7 Exercicis per exxmens

Aquest xs un document de treball INTERN, en fase de discussix i molt preliminar. No en feu difussix, sisplau.

(Enllax al document principal)

(Enllax a la versix pdf d’aquest document) (Enllax a la font LaTeX) (Enllax als fitxers de les figures)

1 Objectius d’aprenentatge

Teorema de Bolzano

Solucix numxrica d’equacions: l’algoritme de biseccix Algoritme de la falsa posicix Conjunts tancats, oberts Conjunts convexos, compactes

2 Prerequisits

3 Guia pel professor

3.1 Presentacix del tema

3.2 Materials bxsics

3.2.1 Good Questions Del projecte del Dept of Mathematics de la Cornell U. PIC 4 Activitats autxnomes

4.0.1 Teorema de Bolzano

Video que explica de manera senzilla el Teorema de Bolzano Bolzano’s theorem /explanation and examples by Philip Gorick.

Un video que explica i demostra formalment el Teorem de Bolzano: Bolzano’s theorem, Proof and Applications by discovermaths.

Un altre que parla del teorema del valor intermedi, una versix lleugerament diferent perx equivalent del teorema Intermediate value theorem to prove a root in an interval (KristaKingMath) (5min)

QUIZZ El teorema de Bolzano, per una funcix definida en un interval tancat [a, b], amb f(a) · f(b) < 0 = diu que si existeix algun punt c ∈ [a, b] amb f(c) = 0 llavors f xs continua = diu que no pot existir un punt c ∈ [a, b] amb f(c) = 0 si f no xs continua = diu que existeix un xnic punt c ∈ [a, b] amb f(c) = 0 si f xs continua == cap de les anteriors

QUIZZ Si considerem la funcix y = f(x) = 1/x en l’interval [−1, 1] == No es pot aplicar el T. de Bolzano perqux la funcix no xs continua en l’interval = No es pot aplicar el T. de Bolzano perqux l’interval no xs tancat = No es pot aplicar el T. de Bolzabo perqux la funcix no canvia de signe en l’interval = El t. de Bolzano ens assegura que hi ha algxn c ∈ [−1, ] tal que f(c) = 0.

El t. de Bolzano ens assegura l’existxncia d’una arrel de la funcix, perx, com la hem de calcular?

El mxtode de biseccix xs molt util, i molt eficient, per trobar solucions numxriques a equacions, especialment en casos en qux la solucix numxrica pot ser molt complicada. Per exemple, no sabem resoldre equacions com ara x^{2} + \sqrt{x} = 1, i segurament no existeix cap mxtode per resoldre-les de manera exacta algxbricament, perx podem comenxar dibuixant-ne el grxfic i desprxs resoldre-les numxricament, xs a dir, buscant un valor aproximat, tant aproximat com ens interessi.

Mira’t aquest video sobre el mxtode de biseccix How to locate a root — Bisection Method — ExamSolutions, by ExamSolutions (12 min)

Ara fes-ho amb R, fent servir aquest codi o similar:

f=xfunction(x)xx^2+sqrt(x)-1xf(0:10)xplot.function(f,0,1)xxa=x0xb=1xxprint("a,x(a+b)/2,xb")xprint(c(a,(a+b)/2,xb))xprint(c(f(a),xf((a+b)/2),xf(b)))xx#xixsegonsxonxveiemxelxcanvixdexsigne,xcanviemxaxoxbxax=x(a+b)/2x#xoxbexb=(a+b)/2xxx

PIC

auto

>xax<-x0x>xbx<-x1x>xprint("a,x(a+b)/2,xb")x[1]x"a,x(a+b)/2,xb"x>xprint(c(a,(a+b)/2,xb))x[1]x0.0x0.5x1.0x>xprint(c(f(a),xf((a+b)/2),xf(b)))x[1]x-1.00000000x-0.04289322xx1.00000000x>xa=(a+b)/2x>xprint("a,x(a+b)/2,xb")x[1]x"a,x(a+b)/2,xb"x>xprint(c(a,(a+b)/2,xb))x[1]x0.50x0.75x1.00x>xprint(c(f(a),xf((a+b)/2),xf(b)))x[1]x-0.04289322xx0.42852540xx1.00000000x>xb=(a+b)/2x>xprint("a,x(a+b)/2,xb")x[1]x"a,x(a+b)/2,xb"x>xprint(c(a,(a+b)/2,xb))x[1]x0.500x0.625x0.750x>xprint(c(f(a),xf((a+b)/2),xf(b)))x[1]x-0.04289322xx0.18119442xx0.42852540

Segueix repetint el procxs i aruat’t quan estiguis segur de quina xs la primera xifra decimal de l’arrel que estem buscant.

QUIZZ Digues entre quins lxmits estx l’arrel quan t’has aturat: == Entre 0.50000 0.53125 = Entre 0.515625 0.531250 =Entre 0.500000 0.515625

De fet, tant R com Geogebra tenen implementat aquest mxtode (o d’altres una mica mxs sofisticats que no veurem. Aixx, per trobar l’arrel de la funcix f(x) = e^{−}x − x, xs a dir, per resoldre l’eqxacix e^{−}x = x, en R pots teclejar uniroot(function(x)exp(-x)-x, c(0,5)) on li hem dit que la busqui entre 0 i 5. El resultat ´s molt informatiu, perx de moment ens quedem amb l’arrel (root en anglxs) que xs 0.5671674.

En Geogebra, podem teclejar simplement Arrel(exp(-x)-x) i si estem en mode aproximat obtindrem 0.57

QUIZZ Fent servir aquestes ordres, en R o en Geogebra, digues el valor de x que satsifx l’eqxacix x^{0.8} − x^{0.2} − 1 = 0.

Solucix: 2.71096

4.0.2 act1

5 Llista d’exercicis

5.0.1 Exercici

6 Suplements avanxats

7 Exercicis per exxmens