\documentclass{article}


\input{../latexDefs.tex}

\title{Teoremes de Bolzano, valors extrems}
\author{Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF}


\begin{document}

\maketitle{}

\tableofcontents{}

\enllacos

\section{Objectius d’aprenentatge}

\begin{itemize}
\item Teorema de Bolzano
\item Solució numèrica d'equacions: l'algoritme de bisecció
\item Algoritme de la falsa posició
\item Conjunts tancats, oberts
\item Conjunts convexos, compactes
\end{itemize}

\section{Prerequisits}

\section{Guia pel professor}

\subsection{Presentació del tema}

\subsection{Materials bàsics}

\subsubsection{Good Questions}

Del projecte del Dept of Mathematics de la Cornell U.

\grafLink{GoodQuestionsCornell.pdf}


\section{Activitats autònomes}


\subsubsection{Teorema de Bolzano}

Video que explica de manera senzilla el Teorema de Bolzano
\href{https://www.youtube.com/watch?v=TBUfPUbYxKQ}{Bolzano's theorem /explanation and examples by  Philip Gorick}.

Un video que explica i demostra formalment el Teorem de Bolzano: \href{https://www.youtube.com/watch?v=xpopjX9Mqw0}{Bolzano's
  theorem, Proof and Applications by discovermaths}.

Un altre que parla  del teorema del valor intermedi, una versió lleugerament diferent però equivalent del teorema
\href{https://www.youtube.com/watch?v=GYwt2k-v00g}{Intermediate value theorem to prove a root in an interval (KristaKingMath)} (5min)

\QUIZZ
El teorema de Bolzano, per una funció definida en un interval tancat $[a,b]$, amb $f(a)\cdot f(b)<0$\\
= diu que si existeix algun punt $c\in[a,b]$ amb $f(c)=0$ llavors $f$ és continua\\
= diu que no pot existir un punt $c\in[a,b]$ amb $f(c)=0$ si $f$ no és continua\\
= diu que existeix un únic punt $c\in[a,b]$ amb $f(c)=0$ si $f$ és continua\\
== cap de les anteriors

\QUIZZ
Si considerem la funció $y=f(x)=1/x$ en l'interval $[-1,1]$\\
== No es pot aplicar el T. de Bolzano perquè la funció no és continua en l'interval\\
= No es pot aplicar el T. de Bolzano perquè l'interval no és tancat\\
= No es pot aplicar el T. de Bolzabo perquè la funció no canvia de signe en l'interval\\
= El t. de Bolzano ens assegura que hi ha algún $c\in[-1,]$ tal que $f(c)=0$.

El t. de  Bolzano ens assegura l'existència d'una arrel de la funció, però, com la hem de calcular?

El mètode de bisecció és molt util, i molt eficient, per trobar solucions numèriques a equacions, especialment en casos en què la
solució numèrica pot ser molt complicada. Per exemple, no sabem resoldre equacions com ara $x^2+\sqrt{x}=1$, i segurament no
existeix cap mètode per resoldre-les de manera exacta algèbricament, però podem
començar dibuixant-ne el gràfic i després resoldre-les numèricament, és a dir, buscant un valor aproximat, tant aproximat com ens
interessi.

Mira't aquest video sobre el mètode de bisecció
\href{https://www.youtube.com/watch?v=OzFuihxtbtA}{How to locate a root | Bisection Method | ExamSolutions, by ExamSolutions} (12 min)

Ara fes-ho amb R, fent servir aquest codi o similar:

\begin{multicols}{2}
\begin{lstlisting}[language=R]
f= function(x) x^2+sqrt(x)-1
f(0:10)
plot.function(f,0,1)

a= 0
b=1

print("a, (a+b)/2, b")
print(c(a,(a+b)/2, b))
print(c(f(a), f((a+b)/2), f(b)))

# i segons on veiem el canvi de signe, canviem a o b
a = (a+b)/2
# o be
b=(a+b)/2
  \end{lstlisting}

\grafLink{bolz1.png}

 \columnbreak

 \begin{lstlisting}[language=R]
> a <- 0
> b <- 1
> print("a, (a+b)/2, b")
[1] "a, (a+b)/2, b"
> print(c(a,(a+b)/2, b))
[1] 0.0 0.5 1.0
> print(c(f(a), f((a+b)/2), f(b)))
[1] -1.00000000 -0.04289322  1.00000000
> a=(a+b)/2
> print("a, (a+b)/2, b")
[1] "a, (a+b)/2, b"
> print(c(a,(a+b)/2, b))
[1] 0.50 0.75 1.00
> print(c(f(a), f((a+b)/2), f(b)))
[1] -0.04289322  0.42852540  1.00000000
> b=(a+b)/2
> print("a, (a+b)/2, b")
[1] "a, (a+b)/2, b"
> print(c(a,(a+b)/2, b))
[1] 0.500 0.625 0.750
> print(c(f(a), f((a+b)/2), f(b)))
[1] -0.04289322  0.18119442  0.42852540
\end{lstlisting}
\end{multicols}

Segueix repetint el procés i aruat't quan estiguis segur de quina és la primera xifra decimal de l'arrel que estem buscant.

\QUIZZ
Digues entre quins límits està l'arrel quan t'has aturat:\\
== Entre  0.50000 0.53125\\
= Entre 0.515625 0.531250\\
=Entre 0.500000 0.515625

De fet, tant R com Geogebra tenen implementat aquest mètode (o d'altres una mica més sofisticats que no veurem. Així, per trobar
l'arrel de la funció $f(x)=e^-x -x$, és a dir, per resoldre l'eqüació $e^-x = x$, en R pots teclejar
\texttt{uniroot(function(x)exp(-x)-x, c(0,5))} on li hem dit que la busqui entre 0 i 5. El resultat ´s molt informatiu, però de
moment ens quedem amb l'arrel (root en anglès) que és \texttt{0.5671674}.

En Geogebra, podem teclejar simplement \texttt{Arrel(exp(-x)-x)} i si estem en mode aproximat obtindrem \texttt{0.57}

\QUIZZ
Fent servir aquestes ordres, en R o en Geogebra, digues el valor de $x$ que satsifà l'eqüació $x^{0.8}-x^{0.2}-1=0$. \solucio{2.71096}




\subsubsection{act1}

\section{Llista d’exercicis}

\subsubsection{Exercici}

\section{Suplements avançats}

\section{Exercicis per exàmens}



\end{document}
