xxLa derivada, el creixement

La derivada, el creixement

Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF

25xde marx dex2021

xndex

1 Objectius d’aprenentatge 2 Prerequisits 3 Guia pel professor x3.1 Presentacix del tema xx3.1.1 Exemples de Clicker x3.2 Materials bxsics 4 Activitats autxnomes xx4.0.1 Repassem la regla de la cadena xx4.0.2 Creixement del pes d’un bebx xx4.0.3 La derivada xs el lxmit del quocient incremental xx4.0.4 La derivada com a aproximacix lineal xx4.0.5 La derivada xs el pendent de la recta tangent xx4.0.6 Funcix derivada amb R xx4.0.7 El mxtode de Newton per resoldre equacions 5 Llista d’exercicis xx5.0.1 Exercici 6 Suplements avanxats 7 Exercicis per exxmens Aquest xs un document de treball INTERN, en fase de discussix i molt preliminar. No en feu difussix, sisplau.

(Enllax al document principal) (Enllax a la versix pdf d’aquest document) (Enllax a la font LaTeX) (Enllax als fitxers de les figures)

1 Objectius d’aprenentatge

Definicix i interpretacix de la derivada

La derivada i la tangent

L’aproximacix lineal

El mxtode de Newton

Repxs de les regles de cxlcul de derivades

xx

2 Prerequisits El cxlcul de derivades de funcions polinxmiques, potencials i racionals. Se’ls poden donar referxncies, exemples i eines (geogebra, WolframAlpha) per ajudar a repassar. Per exemple, exercicis del IB-An&Appr 13-4: PIC amb les seves solucions PIC

3 Guia pel professor Cal posar l’xmfasi en els conceptes, la idea de mesurar el canvi, el creixement. Els exemples d’aplicacix a l’economia i el cas de les epidxmies han de ser referents clau.

3.1 Presentacix del tema

Donant per suposat que abans de la classe s’han mirat els materials proposats i han fet les activitats autxnomes, es proposaran preguntes i clickers per provocar la reflexix i discussix en petits grups dels conceptes principals:

El quocient d’increments

La derivada com lxmit del quocient d’increments

La derivada com a mesura de la variacix

El signe de la derivada com a indicador de creixement/decreixement

3.1.1 Exemples de Clicker

Si tenim y = f(x) i considerem l’interval [x_{1}, x_{2}], el quocient d’increments \frac{y_{2} − y_{1}}{x_{2} − x_{1}} = \frac{f(x_{2}) − f(x_{1})}{x_{2} − x_{1}} es sol anomenar de

diferents maneres. Digues quines sxn correctes: QUIZZ = la variacix de y entre x_{1} i x_{2} = la variacix instantxnia de y en x = x_{1} == la variacix mitjana de y entre x_{1} i x_{2}. == la ratio de canvi de y respecte x en l’interval [x_{1}, x_{2}] == el quocient incremental de y respecte x en l’interval [x_{1}, x_{2}] = la rax de canvis de y respecte x en el punt x_{1} == la rax de canvis de y respecte x en l’interval [x_{1}, x_{2}]

Discutim ara aquest exercici: PIC

Solucions: PIC

Discutim quina xs la resposta correcta i en cas d’incorrecta explica perqux i dona un exemple que ho mostri.

QUIZZ

Tenim y = f(x). Considerem l’interval [x_{1}, x_{2}] i el quocient d’increments Q = \frac{y_{2} − y_{1}}{x_{2} − x_{1}} = \frac{f(x_{2}) − f(x_{1})}{x_{2} − x_{1}} == Si Q > 0, podem

assegurar que (f(x_{2}) > f(x_{1}) = Si el quocient Q xs negatiu, la funcix xs decreixent = Si Q > 0, podem assegurar que el pendent de la grxfica en x = x_{1} xs positiu. == Si Q < 0 el segment que uneix els punts de la grxfica “fa baixada” = Si Q = 0, la grxfica xs horitzontal.

QUIZZ En el grxfic adjunt hi ha una funcix i les seves dues primeres derivades, identifica-les. PIC

A la col·leccix de preguntes de GoodQuestions Project de Cornell University, especialment a partir de la pxgina 15, hi ha moltes preguntes interessants per plantejar a classe per a la discusix.

Per exemple:

[Q] True or False. If f(x) = x^{1/3} then f′(0) exists.

Answer: False. f′(0) equals the slope of the tangent at (0, 0).

[P] True or False. If f(x) = x^{1/3} then there is a tangent line at (0, 0).

Answer: True. This gets students to think about tangent lines and derivatives. A vertical tangent line exists, although the derivative does not.

[P] True or False. The function f(x) = |x| has a derivative at x = 0.

Answer: False. The limit lim_{x)0} \frac{f(x) − 0}{x − 0} does not exist, because it equals −1 from the left, and 1 from the

right. Thus f′(0) does not exist.

[Q] True or False. The function g(x) = x|x| has a derivative at x = 1.

Answer: True. Easy application of the limit definition of derivative. Students should note that close to 1, |x| = x. g′(1) = 2.

3.2 Materials bxsics

Capxtols 6 i 10 del Pemberton&Rau.

4 Activitats autxnomes

Aqux recollim exemples de possibles activitats, per suposat que caldrx seleccionar-ne algunes i complementar-les amb d’altres ja disponibles.

4.0.1 Repassem la regla de la cadena

Ja hem vist casos en qux la variacix d’una quantitat en funcix d’una altra es pot descomposar a travxs de quantitats intermxdies. Per exemple, la variacix del preu del petroli en dxlars segons el temps t en mesos pot ser P_{d}(t) = 20 + 0.4t durant un periode determinat. Perx el valor de l’euro en funcix del dxlar (que considerem constant en el temps) tambx xs una funcix que es pot expressar E(d) = 1.2d i per tant el preu del petroli en euros serx P_{e}(t) = E(P_{d}(t)). La variacix del preu del petroli en euros serx

.  \frac{dE}{dt} = \frac{dE}{dD} \frac{dD}{dt} ,  o bé  P′_{e}(t) = P′_{e}(P_{d}(t)) · P′_{d}(t)

Aixx es pot explicar dient que si el preu en dxlars varia a rax de 0.4 dxlars/mes, i l’euro varia a rax de 1.2 euros/dxlar, la variacix del petroli en euros serx de 0.4 × 1.2 euros per mes.

Com a regla general diem:

PIC

O bx: La derivada de la composta xs la derivada de la de fora (sense canviar la de dins) multiplicada per la derivada de la de dintre.

QUIZZ El preu de la llimonada depxn de la demanda P(D) perx la demanda depxn la temperatura D = D(T). Llavors, la variacix del preu en funcix de la temperatura serx: == P′(D) · D′(T) = P′(D′(T)) = P′(D) + D′(T)

4.0.2 Creixement del pes d’un bebx

En el grxfic veiem el pes d’un bebx al llarg dels primers mesos de vida. PIC

En el mes 5 pesa 6.9 kg, i al mes 7 pesa 7,8 kg. En dos mesos ha augmentat 0,9 kg, el ritme de creixement en aquest periode xs de 0,45 kg/mes. Per calcular-ho, dividim l’incement de pes (7,8-6,9=0,9) per l’increment del temps (7-5=2 mesos).

Aqui tenim tambx la grxfica de les alxades dels bebxs segons els mesos d’edad. De les diferents corbes corresponents als diferent quantils (no entrem ara en aquest tema) ens quedem amb la lxnia del mig, mxs gruixuda, que correspon al bebx mitjx o promig. PIC

Segons la taula, als 6 mesos el bebx tipus amida 67 cm, i als 9 mesos 74 cm. El seu creixement ha sigut de (74-67)/(9-6)=7/3, aproximadament 2,3 cm/mes. Altre cop calculem el quocient d’increments per calcular el ritme o rax decreixement.

Perx el creixement no es produeix de cop, cada mes, sino que es produeix d’una manera continua. Aixx xs el que reflecteix la corba suau que veiem a la figura anterior. Llavors, per amidar el ritme de creixement en un moment determinat, fem el quocient d’increments perx el fem en interval de temps molt petits. Per exemple, si volem saber el ritme de creixement en el moment t = 5 mesos, prenem dos punts de la corba t = 5 i t = 5.1 i mirem com ha crescut el bebx en aquest curt periode, i calculem el quocient d’increments:

El ritme de creixment en t_{0} = 5 xs \frac{A(5.1) − A(5)}{5.1 − 5}

El cxlcul el podem veure mxs clar si prenem una funcix senzilla A(t) = 55 + 4t^{0.2} i la grafiquem amb Geogebra. Podeu veure

un exemple a https://www.geogebra.org/classic/q8wnqmbb:

PIC

etc...

En R podem fer

>xf<-function(x)x55+x6*x^0.4xxplot.function(f,0,12)xx>xquocIncrx<-xfunction(f,xx0,xh){(f(x0+h)-f(x0))/h}x>xquocIncr(f,3,0.1)x[1]x1.229278x>xquocIncr(f,2,0.1)x[1]x1.560272x>xquocIncr(f,2,1)x[1]x1.394026x>xquocIncr(f,2,0.01)x[1]x1.581041x>xquocIncr(f,2,0.0001)x[1]x1.583386

4.0.3 La derivada xs el lxmit del quocient incremental Mira’t aquests dos exemples de cxlcul de la derivada utilitzant la definicix:

. f′(x) = lim ; h)0 \frac{f(x + h) − f(x)}{h}

PIC PIC Ara repeteix el que has vist per demostrar que si f(x) = 2 − \frac{1}{3} x^{2}, f′(x) = −\frac{2}{3}. O fes aquest 6.1.1. de PemRau: PIC

Solucix: PIC

Un exercici txpic d’examen: Demostra fent servir la definicix de la derivada com a lxmit del quocient d’increments, que per f(x) = a − bx^{2} on a i b sxn constants, es tx f′(x) = −2b.

4.0.4 La derivada com a aproximacix lineal Com que f′(x_{0}) ≈ \frac{f(x_{0} +h)−f(x_{0} )}{h} quan h xs petit (en valor absolut), podem escriure f(x_{0} + h) − f(x_{0}) ≈ |h|f′(x_{0}) quan |h| xs petit. Una altra manera d’escriure-ho: Si y = f(x), Δy = y′Δx. (Repassa el capxtol 6.2 de Pemb-Rau is no tens aixx gaire clar). QUIZZ Si el preu depxn de la quantitat fabricada segons P = 2 + 5Q^{1/3} , calcula el preu marginal per Q = 3 i digues quan augmenta el preu aproximadament si la quantitat passa de 3 a 3.01 == El preu augmentarx en 0.0080 = El preu augmentarx en 0.8012 [No, aixx xs la derivada P′ per Q = 3]

4.0.5 La derivada xs el pendent de la recta tangent Aqux pots veure com dibuixar la tangent a la grxfica d’una funcix amb Geogebra. PIC Fes-ho tu ara per la funcix f(x) = \frac{2x^{2}}{x^{2} +1} i el punt a = 1.5. Porta el teu exemple al seminari. Si fas una construccix com aquesta: PIC podrxs veure com canvia la tangent quan varia el punt x sobre el que es construeix la tangent.

                             Solucix: https://www.geogebra.org/classic/sw8v57kc

4.0.6 Funcix derivada amb R R no sap fer derivades simbxlicament, perx xs molt potent numxricament. Podem demanar-li coses aixx:

#xcalculxdexlaxfuncioxderivadaxnumericamentxxfx<-xfunction(x)xx^2/(x^2+1)xxhx<-x0.001xxDerx<-xfunction(ff){xxxreturn(function(x)x(ff(x+h)-ff(x))/h)x}xxplot.function(f,-3,3,xylim=c(-1,2))xabline(h=0,xcol="blue",xlty=2)xabline(v=0,xcol="blue",xlty=2)xxplot.function(Der(f),-3,3,xadd=TRUE,xcol="red")xplot.function(Der(Der(f)),-3,3,xadd=TRUE,xcol="green")xxx

auto PIC

Cal fer aixx amb precaucix: enlloc de la derivada estem calculant el quocient incremental per un increment petit, perx “petit” no xs una especifiacix sempre vxlida, segons quina sigui la funcix i el punt on es calcula pot haver-hi errors no menyspreables.

4.0.7 El mxtode de Newton per resoldre equacions En el tema 6. Teoremes de Bolzano, valors extrems vem veure com obtenir solucions a equacions amb el mxtode de biseccix. Un mxtode molt mxs eficient es pot trobar si enlloc de passar cada vegada d’un interval a la meitat s’aprofita el fet que la derivda ens dona una bona aproximacix de la funcix. Llegeix aquestes pxgines del llibre de text: Pem-Rau. PIC PIC PIC PIC x QUIZZ El mxtode de Newton... Amb Geogebra podem veure fxcilment com treballa el mxtode de Newton: PIC PIC

5 Llista d’exercicis

5.0.1 Exercici Un exercici txpic d’examen: Demostra fent servir la definicix de la derivada com a lxmit del quocient d’increments, que per f(x) = a + bx^{2} on a i b sxn constants, es tx f′(x) = 2b.

6 Suplements avanxats

7 Exercicis per exxmens

Un exercici txpic d’examen: Demostra fent servir la definicix de la derivada com a lxmit del quocient d’increments, que per f(x) = a + bx^{2} on a i b sxn constants, es tx f′(x) = 2b.

QUIZZ

En el grxfic adjunt hi ha una funcix i les seves dues primeres derivades, identifica-les. PIC