\documentclass{article}


\input{../latexDefs.tex}

\title{La derivada, el creixement}
\author{Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF}


\begin{document}

\maketitle{}

\tableofcontents{}

\enllacos

\section{Objectius d’aprenentatge}

\begin{itemize}
\item Definició i interpretació de la derivada
\item La derivada i la tangent
\item L'aproximació lineal
  \begin{itemize}
  \item El mètode de Newton
  \end{itemize}
\item Repàs de les regles de càlcul de derivades
\item xx
\end{itemize}

\section{Prerequisits}

El càlcul de derivades de funcions polinòmiques, potencials i racionals. Se'ls poden donar referències, exemples i eines (geogebra, WolframAlpha) per
ajudar a repassar.

Per exemple, exercicis del IB-An\&Appr 13-4:

\grafLink{Exc-13-4-App_Int.png}

amb les seves solucions

\grafLink{applications_and_interpretation_hl_worked_solutions_ch13-4.png}



\section{Guia pel professor}

Cal posar l'èmfasi en els conceptes, la idea de mesurar el canvi, el creixement. Els exemples d'aplicació a l'economia i el cas de
les epidèmies han de ser referents clau.

\subsection{Presentació del tema}

Donant per suposat que abans de la classe s'han mirat els materials proposats i han fet les activitats autònomes, es proposaran
preguntes i \emph{clickers} per provocar la reflexió i discussió en petits grups dels conceptes principals:
\begin{itemize}
\item El quocient d'increments
\item La derivada com límit del quocient d'increments
\item La derivada com a mesura de la variació
\item El signe de la derivada com a indicador de creixement/decreixement
\end{itemize}

\subsubsection{Exemples de Clicker}

Si tenim $y=f(x)$ i considerem l'interval $[x_1,x_2]$, el quocient d'increments $\displaystyle
\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ es sol anomenar de diferents maneres. Digues quines són correctes:\\
\QUIZZ
= la variació de $y$ entre $x_1$ i $x_2$\\
= la variació instantània de $y$ en $x=x_1$\\
== la variació mitjana de $y$ entre $x_1$ i $x_2$.\\
== la ratio de canvi de $y$ respecte $x$ en l'interval $[x_1,x_2]$\\
== el quocient incremental de $y$ respecte $x$  en l'interval $[x_1,x_2]$\\
= la raó de canvis de $y$ respecte $x$ en el punt $x_1$\\
== la raó de canvis de $y$ respecte $x$ en l'interval $[x_1,x_2]$\\

Discutim ara aquest exercici:\\
\grafLink{Exc-13-2-5-Appl-Int.png}

\rightline{Solucions: \grafLink{Exc-13-2-5-Appl-Int_Solucions.png}}

Discutim quina és la resposta correcta i en cas d'incorrecta explica perquè i dona un exemple que ho mostri.

\QUIZZ
Tenim $y=f(x)$. Considerem l'interval $[x_1,x_2]$ i el quocient d'increments $\displaystyle
Q =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
== Si $Q>0$, podem assegurar que $(f(x_2)>f(x_1)$\\
= Si el quocient $Q$ és negatiu, la funció és decreixent\\
= Si $Q>0$, podem assegurar que el pendent de la gràfica en $x=x_1$ és positiu.\\
== Si $Q<0$ el segment que uneix els punts de la gràfica ``fa baixada''
= Si $Q=0$, la gràfica és horitzontal.

\QUIZZ
En el gràfic adjunt hi ha una funció i les seves dues primeres derivades, identifica-les.\grafLink{DuesDerivR-2.pdf}




A la \href{../figures/GQbysubject_pdfversion.pdf}{col·lecció de preguntes de GoodQuestions Project
  de Cornell University}, especialment a partir de la pàgina 15, hi ha moltes preguntes interessants per plantejar a classe per a
la discusió.

%\includegraphics[]{../figures/GQbysubject_pdfversion.pdf}

Per exemple:

\begin{enumerate}
\item {\bf [Q]} \textbf{True} or \textbf{False}.  If
$f(x)=x^{1/3}$ then $f^{\prime}(0)$ exists.

{\it Answer: False.} $f^{\prime}(0)$ equals the slope of the tangent at 
$(0,0)$. 

\bigskip

\item {\bf [P]} \textbf{True} or \textbf{False}.  If
$f(x)=x^{1/3}$ then there is a tangent line at $(0,0)$.

{\it Answer: True.} This gets students to think about tangent lines
and derivatives.  A vertical tangent line exists, although the derivative
does not.

\bigskip

\item {\bf [P]} \textbf{True} or \textbf{False}.  The function $f(x)=|x|$ 
has a derivative at $x=0$.

{\it Answer: False.} The limit $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}
\frac{f(x)-0}{x-0}}$ does not exist, because it equals $-1$ from the 
left, and $1$ from the right. Thus $f^{\prime}(0)$ does not exist.

\bigskip

\item {\bf [Q]} \textbf{True} or \textbf{False}.  The function $g(x)=x|x|$ has a derivative at $x=1$.

{\it Answer: True.} Easy application of the limit definition of derivative. Students should note that close to $1$, $|x|=x$. $g^{\prime}(1)=2$.

\end{enumerate}
  

\subsection{Materials bàsics}

Capítols 6 i 10 del Pemberton\&Rau.

\section{Activitats autònomes}
\comentari{Aquí recollim exemples de possibles activitats, per suposat que caldrà seleccionar-ne algunes i complementar-les amb
  d'altres ja disponibles.}

\subsubsection{Repassem la regla de la cadena}

Ja hem vist casos en què la variació d'una quantitat en funció d'una altra es pot descomposar a través de quantitats
intermèdies. Per exemple, la variació  del preu del petroli en dòlars segons el temps $t$ en mesos pot ser $P_d(t)=20+ 0.4 t$
durant un periode determinat. Però el valor de l'euro en funció del dòlar (que considerem constant en el temps)
també és una funció que es pot expressar $E(d)=1.2 d$ i
per tant el preu del petroli en euros serà $P_e(t) = E(P_d(t))$. La variació del preu del petroli en euros serà
$$\frac{dE}{dt} = \frac{dE}{dD}\frac{dD}{dt},\qquad\mbox{o\ b\'e}\qquad P'_e(t)=P'_e(P_d(t)) \cdot P'_d(t)$$

Això es pot explicar dient que si el preu en dòlars varia a raó de 0.4 dòlars/mes, i l'euro varia a raó de 1.2 euros/dòlar, la
variació del petroli en euros serà de $0.4\times 1.2$ euros per mes.

Com a regla general diem:
\begin{center}
\grafLink{chain-rule-IBApp_Int.png}

O bé:
\framebox{\parbox{0.5\linewidth}{\emph{ La derivada de la composta és\\
    la derivada de la de fora (sense canviar la de dins)\\ multiplicada per\\
    la derivada de la
  de dintre.}}}
\end{center}

\QUIZZ
El preu de la llimonada depén de la demanda $P(D)$ però la demanda depén la temperatura $D=D(T)$. Llavors, la variació del preu en
funció de la temperatura serà:\\
== $P'(D)\cdot D'(T)$\\
= $P'(D'(T))$\\
= $P'(D) + D'(T)$



\subsubsection{Creixement del pes d'un bebè}

En el gràfic veiem el pes d'un bebè al llarg dels primers mesos de vida. 
\grafLink{growth-chart-avg-baby.png}

En el mes 5 pesa 6.9 kg, i al mes 7 pesa 7,8 kg. En dos mesos ha augmentat 0,9 kg, el ritme de creixement en aquest periode és de
0,45 kg/mes. Per calcular-ho, dividim l'incement de pes (7,8-6,9=0,9) per l'increment del temps (7-5=2 mesos).

\parbox{0.5\linewidth}{Aqui tenim també la gràfica de les alçades dels bebès segons els mesos d'edad. De les diferents corbes corresponents als diferent
quantils (no entrem ara en aquest tema) ens quedem amb la línia del mig, més gruixuda, que correspon al bebè mitjà o promig.}
\grafLink{taula-alcada-pes.png}

Segons la taula, als 6 mesos el bebè tipus amida 67 cm, i als 9 mesos 74 cm. El seu creixement ha sigut de (74-67)/(9-6)=7/3,
aproximadament 2,3 cm/mes. Altre cop calculem el quocient d'increments per calcular el ritme o raó decreixement.

Però el creixement no es produeix de cop, cada mes, sino que es produeix d'una manera continua. Això és el que reflecteix la corba
suau que veiem a la figura anterior. Llavors, per amidar el ritme de creixement en un moment determinat, fem el quocient
d'increments però el fem en interval de temps molt petits. Per exemple, si volem saber el ritme de creixement en el moment $t=5$
mesos, prenem dos punts de la corba $t=5$ i $t=5.1$ i mirem com ha crescut el bebè en aquest curt periode, i calculem el quocient
d'increments:

El ritme de creixment en $t_0=5$ és $\displaystyle \frac{A(5.1)-A(5)}{5.1 - 5}$

El càlcul el podem veure més clar si prenem una funció senzilla $A(t) = 55+4 t^{0.2}$ i la grafiquem amb Geogebra. Podeu veure un
exemple a \url{https://www.geogebra.org/classic/q8wnqmbb}:

\grafLink{Quocient-increments-geogebra.png}

etc...

En R podem fer

\begin{lstlisting}[language=R]
> f<-function(x) 55+ 6*x^0.4
 plot.function(f,0,12)
 > quocIncr <- function(f, x0, h){(f(x0+h)-f(x0))/h}
> quocIncr(f,3,0.1)
[1] 1.229278
> quocIncr(f,2,0.1)
[1] 1.560272
> quocIncr(f,2,1)
[1] 1.394026
> quocIncr(f,2,0.01)
[1] 1.581041
> quocIncr(f,2,0.0001)
[1] 1.583386
\end{lstlisting}

\subsubsection{La derivada és el límit del quocient incremental}

Mira't aquests dos exemples de càlcul de la derivada utilitzant la definició:
$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

\grafLink{pag105_PemRau_deriv_x2.png}

\grafLink{p106_PemRau_derivx-1.png}

Ara repeteix el que has vist per demostrar que si $f(x)=2-\frac{1}{3}x^2$, $f'(x)=-\frac{2}{3}$.

O fes aquest 6.1.1. de PemRau:
\grafLink{exc-6-1-1-PemRau.png}

\solucio{\grafLink{sol-6-1-1-PemRau.pdf}}


Un exercici típic d'examen: Demostra fent servir la definició de la derivada com a límit del quocient d'increments,
que per $f(x)=a-bx^2$ on $a$ i $b$ són constants, es té $f'(x)=-2b$.

\subsubsection{La derivada com a aproximació lineal}

Com que $f'(x_0)\approx \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ quan $h$ és petit (en valor absolut), podem escriure
$f(x_0+h)- f(x_0)\approx|h|f'(x_0)$ quan $|h|$ és petit. Una altra manera d'escriure-ho: Si $y=f(x)$, $\Delta y = y' \Delta x$.

(Repassa el capítol 6.2 de Pemb-Rau is no tens això gaire clar).

\QUIZZ
Si el preu depén de la quantitat fabricada segons $P=2+5 Q^{1/3}$, calcula el preu marginal per $Q=3$ i digues quan augmenta el
preu aproximadament si la quantitat passa de $3$ a $3.01$\\
== El preu augmentarà en $0.0080$\\
= El preu augmentarà en 0.8012 [No, aixó és la derivada $P'$ per $Q=3$]\\


\subsubsection{La derivada és el pendent de la recta tangent}

Aquí pots veure com dibuixar la tangent a la gràfica d'una funció amb Geogebra.

\grafLink{tangent-ggb.png}

Fes-ho tu ara per la funció $f(x)=\frac{2x^2}{x^2+1}$ i el punt $a=1.5$. Porta el teu exemple al seminari.

Si fas una construcció com aquesta:
\grafLink{TangentLliscant-ggb.png}

podràs veure com canvia la tangent quan varia el punt $x$ sobre el que es construeix la tangent.
\solucio{\url{https://www.geogebra.org/classic/sw8v57kc}}

\subsubsection{Funció derivada amb R}

R no sap fer derivades simbòlicament, però és molt potent numèricament. Podem demanar-li coses així:

\begin{multicols}{2}
\begin{lstlisting}[language=R]
# calcul de la funcio derivada numericament

f <- function(x) x^2/(x^2+1)

h <- 0.001

Der <- function(ff){
  return(function(x) (ff(x+h)-ff(x))/h)
}

plot.function(f,-3,3, ylim=c(-1,2))
abline(h=0, col="blue", lty=2)
abline(v=0, col="blue", lty=2)

plot.function(Der(f),-3,3, add=TRUE, col="red")
plot.function(Der(Der(f)),-3,3, add=TRUE, col="green")
  \end{lstlisting}

   \columnbreak

  
\grafLink{function-derivative.R.pdf}
\end{multicols}

Cal fer això amb precaució: enlloc de la derivada estem calculant el quocient incremental per un increment petit, però ``petit''
no és una especifiació sempre vàlida, segons quina sigui la funció i el punt on es calcula pot haver-hi errors no menyspreables.

\subsubsection{El mètode de Newton per resoldre equacions}

En el tema 6. Teoremes de Bolzano, valors extrems vem veure com obtenir solucions a equacions amb el mètode de bisecció. Un mètode
molt més eficient es pot trobar si enlloc de passar cada vegada d'un interval a la meitat s'aprofita el fet que la derivda ens
dona una bona aproximació de la funció.

Llegeix aquestes pàgines del llibre de text: Pem-Rau.

\grafLink{pag182_PemRau_newton1.png}
\grafLink{pag183_PemRau_newton2.png}
\grafLink{p184_PemRau_newton3.png}
\grafLink{p185_PemRau_newton4.png}

\dots

\QUIZZ
El mètode de Newton...

Amb Geogebra podem veure fàcilment com treballa el mètode de Newton:

\grafLink{newton-ggb-1.png}
\grafLink{newton-ggb-2.png}


\section{Llista d’exercicis}

\subsubsection{Exercici}

Un exercici típic d'examen: Demostra fent servir la definició de la derivada com a límit del quocient d'increments,
que per $f(x)=a+bx^2$ on $a$ i $b$ són constants, es té $f'(x)=2b$.


\section{Suplements avançats}

\section{Exercicis per exàmens}

\begin{enumerate}
\item Un exercici típic d'examen: Demostra fent servir la definició de la derivada com a límit del quocient d'increments,
que per $f(x)=a+bx^2$ on $a$ i $b$ són constants, es té $f'(x)=2b$.



\item \QUIZZ
En el gràfic adjunt hi ha una funció i les seves dues primeres derivades, identifica-les.\grafLink{duesDerivR.pdf}
\end{enumerate}


\end{document}
