xxFuncions de dues variables

Funcions de dues variables

Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF

25xde marx dex2021

xndex

1 Objectius d’aprenentatge 2 Prerequisits 3 Guia pel professor x3.1 Presentacix del tema x3.2 Materials bxsics 4 Activitats autxnomes xx4.0.1 Grxfics amb R, WolframAlpha xx4.0.2 Grxfics amb Geogebra xx4.0.3 Les seccions verticals xx4.0.4 Desplaxament segons els eixos i canvis d’escala 5 Llista d’exercicis xx5.0.1 Exercici 6 Suplements avanxats x6.1 Derivades creuades diferents? 7 Exercicis per exxmens

Aquest xs un document de treball INTERN, en fase de discussix i molt preliminar. No en feu difussix, sisplau.

(Enllax al document principal) (Enllax a la versix pdf d’aquest document) (Enllax a la font LaTeX) (Enllax als fitxers de les figures)

1 Objectius d’aprenentatge

Definicix de funcix de dues o mxs variables.

Grxfic 3D, grxfic d’isonivells, seccions verticals

Desplaxaments segons els eixos i canvis d’escala

Derivades parcials, vector gradient i matriu hessiana

2 Prerequisits

3 Guia pel professor

3.1 Presentacix del tema

3.2 Materials bxsics

4 Activitats autxnomes Aqux recollim exemples de possibles activitats, per suposat que caldrx seleccionar-ne algunes i complementar-les amb d’altres ja disponibles.

4.0.1 Grxfics amb R, WolframAlpha

Amb R, segueix pas a pas les explicacions que trobaras aqux per obtenir coses com aixx: PIC

Amb Wolfram Alpha, nomxs introduir una expressix ja ens dona els grxfics: PIC Un cop tens el grxfic pots triar si vols veure dibuixats sobre la superficie els isonivells o les linies de seccions verticals/horitzontals.

4.0.2 Grxfics amb Geogebra

Amb Geogebra les figures 3D sxn fxcils de produir, cal que obriu una finestra 3D: PIC

I desprxs entrar coses com aixx: PIC (Pots trobar-ho aqux. Si tens el Geogebra en Catalx, la instruccix serx CorbaImplicita)

Els grxfics d’isonivells no sxn tan fxcils de fer, perx podeu trobar applets que ho facin.

4.0.3 Les seccions verticals

En molts dels grxfics 3D que hem vist fins ara la superficie estxresseguida per unes linies que corresponen a valors fixos de x o de y. Si fixem una de les variables, per exemple x = k per k constant, el que tenim xs una funcix d’una variable z = z(y) = f(k, y) i la seva grxfica correspon a la seccix vertical de la superficie z = f(x, y) segons el pla x = k. Mira’t i reprodueix el que fem aqux amb R. Obtindras figures com aquesta: PIC

4.0.4 Desplaxament segons els eixos i canvis d’escala

Obre l’enllax de Geogebra. Veurxs alguna cosa com aixx: PIC

Prova de desplaxar els lliscants correponents a a i a b. Com expliques el qux estx passant?

Posa-hi ara la funcix g(x, y) = (x − a)^{2} − (y − b)^{3}. Quan a xs positiu, cap a on es desplaxa la grxfica? I quan b xs positiu?.

Ara hi posem la funcix g(x, y) = (ax)^{2} + (by)^{2}. Posar al davant de la x un coeficient, per exemple a = 10 vol dir que enlloc de mesurar les x en centxmetres les passem a mesurar en milxmetres, hem canviat l’escala. Pot veure l’efecte sobre el grxfic en aquest applet de Geogebra. PIC.

Ara pots contestar les segxents preguntes:

QUIZZ Si a la funcix z = f(x, y) hi posem z = f(ax, y), el graf de la funcix = es contrau en la direccix de l’eix x si a > 0 = es contrau en la direccix de l’eix x si a > 1 = es contrau en la direccix de l’eix y si a < 1 == es contrau en la direccix de l’eix x si a > 1

QUIZZ i molts com aquest.

QUIZZ Si tenim una corba d’isonivell donada per u(x, y) = u_{o}, la grxfica de la corba d’isonivell u(x + 2, y) = u_{0} = estarx dues unitats mxs amunt = estarx dues unitats mxs avall = estarx dues unitats mxs a la dreta == estarx dues unitats mxs a l’esquerra = cap de les anteriors

QUIZZ Si tenim una corba d’isonivell donada per u(x, y) = u_{o}, la grxfica de la corba d’isonivell u(x, y) − 2 = u_{0} = estarx dues unitats mxs amunt = estarx dues unitats mxs avall = estarx dues unitats mxs a la dreta = estarx dues unitats mxs a l’esquerra == cap de les anteriors

5 Llista d’exercicis

5.0.1 Exercici

6 Suplements avanxats

6.1 Derivades creuades diferents?

Una activitat autxnoma per alumnes espavilats, per matrxcula?.

Hem vist que les derivades creuades \frac{∂z}{∂x∂y} i \frac{∂z}{∂y∂x} sxn iguals. Sempre? No, per assegurar-ho cal que siguin continues. Pots mirar a la Wikipedia Symmetry of second derivatives, informacix sobre el tema. Pots resseguir els cxlcul de l’exemple que mostra que si no hi ha continuitat la simetria pot no complir-se.

A ma, o amb Geogebra o Wolfram Alpha o similar, defineix la funcix f(, x, y) = \frac{xy(x^{2} −y^{2} )}{x^{2} +x^{2}} . La funcix no queda definida en el (0, 0), o sigui que hi afegim la definicix f(0, 0) = 0 amb la qual cosa la funcix xs continua.

Calcula ara les derivades respecte x, f′_{x}(x, y), i respecte y, f′_{y}(x, y). Per calcular la derivada segona f′′_{xy} (0, 0) calcula f′_{x}(0, y) i per calcular f′′_{yx} (0, 0) calcula f′_{y}(x, 0). Segons aixx, qux obtens per \frac{d}{dy} f′_{x}(0, y)? I qux obtens per \frac{d}{dx} f′_{y}(x, 0)? Sxn iguals? Calcula i grafica la segona derivada f′′_{xy} (x, y) i observa qux passa a prop del (0, 0.

Solucix: en GeogebraPIC

7 Exercicis per exxmens

QUIZZ Si tens el grxfic 3D d’una funcix f(x, y) amb l’eix z en vertical com solem fer-ho. Una seccix vertical segons un pla paral·lel al pla ZX, correspon, per alguna constant k, a: = una corba de nivell z = k = una funcix d’una variable z = f(k, y) == una funcix d’una variable z = f(x, k) = Cap de les altres xs veritable.

QUIZZ Si dues corbes de nivell, de nivells respectius a i b corresponents a una funcix f(x, y) tenen un punt en comx, = Una de les dues ha der ser nomxs un punt = Aixx no pot donar-se mai = Podem assegurar que a = b = Les derivades parcials en aquell punt han de ser zero.