\documentclass{article}


\input{../latexDefs.tex}

\title{Funcions de dues variables}
\author{Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF}


\begin{document}

\maketitle{}

\tableofcontents{}

\enllacos

\section{Objectius d’aprenentatge}

\begin{itemize}
\item Definició de funció de dues o més variables.
\item Gràfic 3D, gràfic d'isonivells, seccions verticals
\item Desplaçaments segons els eixos i canvis d'escala
\item Derivades parcials, vector gradient i matriu hessiana
\end{itemize}

\section{Prerequisits}

\section{Guia pel professor}

\subsection{Presentació del tema}

\subsection{Materials bàsics}

\section{Activitats autònomes}
\comentari{Aquí recollim exemples de possibles activitats, per suposat que caldrà seleccionar-ne algunes i complementar-les amb
  d'altres ja disponibles.}

\subsubsection{Gràfics amb R, WolframAlpha}


Amb R, segueix pas a pas les explicacions que trobaras
% \href{figures/fun2vars.pdf}{aquí en pdf} o
\href{figures/fun2vars.html}{aquí} per obtenir coses com això:\\
\grafLink{CD-3D-amb_nivell.png}



Amb Wolfram Alpha, només introduir una expressió ja ens dona els gràfics:\\
\grafLink{plot3D-Walpha.png}\\
Un cop tens el gràfic pots triar si vols veure dibuixats sobre la superficie  els isonivells  o les linies de seccions verticals/horitzontals.

\subsubsection{Gràfics amb Geogebra}

Amb Geogebra les figures 3D són fàcils de produir, cal que obriu una finestra 3D:\\
\grafLink{3dgraphics-gg.png}

I després entrar coses com això:\\
\grafLink{x2-y2-gg.png}\\
(\href{https://www.geogebra.org/classic/hkryuhmq}{Pots trobar-ho aquí}. Si tens el Geogebra en Català, la instrucció serà \texttt{CorbaImplicita})

Els gràfics d'isonivells no són tan fàcils de fer, però podeu trobar applets que ho facin.

\subsubsection{Les seccions verticals}

En molts dels gràfics 3D que hem vist fins ara la superficie estàresseguida per unes linies que corresponen a valors fixos de $x$
o de $y$. Si fixem una de les variables, per exemple $x=k$ per $k$ constant, el que tenim és una funció d'una variable
$z=z(y)=f(k,y)$ i la seva gràfica correspon a la secció vertical de la superficie $z=f(x,y)$ segons el pla $x=k$. Mira't i
reprodueix el que fem \href{figures/fun2varsSecVert.html}{aquí amb R}. Obtindras figures com aquesta:\\
\grafLink{sec-vert-x2-y2-R.png}



\subsubsection{Desplaçament segons els eixos i canvis d'escala}

Obre  l'enllaç \href{https://www.geogebra.org/classic/augjhqhj}{de Geogebra}. Veuràs alguna cosa com això:\\
\grafLink{x2-y2-3D-despl.png}

Prova de desplaçar els lliscants correponents a $a$ i a $b$. Com expliques el què està passant?

Posa-hi ara la funció $g(x,y)=(x-a)^2-(y-b)^3$. Quan $a$ és positiu, cap a on es desplaça la gràfica? I quan $b$ és positiu?.

Ara hi posem la funció $g(x,y) = (ax)^2+(b y)^2$. Posar al davant de la $x$ un coeficient, per exemple $a=10$ vol dir que enlloc
de mesurar les $x$ en centímetres les passem a mesurar en milímetres, hem canviat l'escala. Pot veure l'efecte sobre el gràfic
\href{https://www.geogebra.org/classic/map4f7av}{en aquest applet de Geogebra}.\\
\grafLink{x2-y2-escala-GG.png}.

Ara pots contestar les següents preguntes:

\QUIZZ
Si a la funció $z=f(x,y)$ hi posem $z=f(a x, y)$, el graf de la funció
= es contrau en la direcció de l'eix $x$ si $a>0$
= es contrau en la direcció de l'eix $x$ si $a>1$
= es contrau en la direcció de l'eix $y$ si $a<1$
== es contrau en la direcció de l'eix $x$ si $a>1$

\QUIZZ
i molts com aquest.

\QUIZZ
Si tenim una corba d'isonivell donada per $u(x,y)=u_o$, la gràfica de la corba d'isonivell $u(x+2,y)=u_0$\\
= estarà dues unitats més amunt\\
= estarà dues unitats més avall\\
= estarà dues unitats més a la dreta\\
== estarà dues unitats més a l'esquerra\\
= cap de les anteriors

\QUIZZ
Si tenim una corba d'isonivell donada per $u(x,y)=u_o$, la gràfica de la corba d'isonivell $u(x,y)-2=u_0$\\
= estarà dues unitats més amunt\\
= estarà dues unitats més avall\\
= estarà dues unitats més a la dreta\\
= estarà dues unitats més a l'esquerra\\
== cap de les anteriors

\section{Llista d’exercicis}

\subsubsection{Exercici}

\section{Suplements avançats}

\subsection{Derivades creuades diferents?}

{\center \emph{ Una activitat autònoma per alumnes espavilats, per matrícula?.\\[1em]}}

Hem vist que les derivades creuades $\frac{\partial z}{\partial x \partial y}$ i $\frac{\partial z}{\partial y \partial x}$ són
iguals. Sempre? No, per assegurar-ho cal que siguin continues. Pots mirar a la Wikipedia
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives}{Symmetry of second derivatives}, informació sobre el
tema. Pots resseguir els càlcul de l'exemple que mostra que si no hi ha continuitat la simetria pot no complir-se.

A ma, o amb Geogebra o Wolfram Alpha o similar, defineix la  funció $f(,x,y)=\frac{x y
  (x^2-y^2)}{x^2+x^2}$. La funció no queda definida en el $(0,0)$, o sigui que hi afegim la definició $f(0,0)=0$ amb la qual cosa
la funció és continua.


Calcula ara les derivades respecte $x$, $f'_x(x,y)$, i respecte $y$, $f'_y(x,y)$. Per calcular la derivada segona $f''_{xy}(0,0)$
calcula $f'_x(0,y)$ i per calcular $f''_{yx}(0,0)$ calcula $f'_y(x,0)$. Segons això, què obtens per $\frac{d}{dy} f'_x(0,y)$? I què
obtens per $\frac{d}{dx} f'_y(x,0)$? Són iguals? Calcula i grafica la segona derivada  $f''_{xy}(x,y)$ i observa què passa a prop del $(0,0$.

\solucio{\href{https://www.geogebra.org/m/n5zkseav}{en Geogebra}\grafLink{SegDerCtrexemple-1.png}}


\section{Exercicis per exàmens}

\QUIZZ
Si tens el gràfic 3D d'una funció $f(x,y)$ amb l'eix $z$ en vertical com solem fer-ho. Una secció vertical segons un pla paral·lel
al pla $ZX$, correspon, per alguna constant $k$, a:\\
= una corba de nivell $z=k$\\
= una funció d'una variable $z=f(k, y)$\\
== una funció d'una variable $z=f(x, k)$\\
= Cap de les altres és veritable.

\QUIZZ
Si dues corbes de nivell, de nivells respectius $a$ i $b$ corresponents a una funció $f(x,y)$ tenen un punt en comú,\\
= Una de les dues ha der ser només un punt\\
= Això no pot donar-se mai\\
= Podem assegurar que $a=b$\\
= Les derivades parcials en aquell punt han de ser zero.





\end{document}
