\documentclass{article}

\input{../latexDefs.tex}

\title{Espais vectorials}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents{}

\enllacos

\section{Objectius d’aprenentatge}

\begin{itemize}
\item Definicions d'espai vectorial abstracte, exemples
\item Propietats bàsiques que se'n deriven
\item Combinacions lineals, espai generat
\item Subespai vectorial: dfinicions i propietats bàsiques
\item Independència lineal
\item Base d'un espai vectorial, dimensió.
\end{itemize}

\section{Prerequisits}

A temes anteriors s'han vist ja els vectors del pla i de l'espai, aquí
seguiran servint com a exemples bàsics sobre els que fonamentar la intuïció.

\section{Guia pel professor}

En temes anteriors s'han vist els vectors del pla i de l'espai, potser
en algun cas vectors de ${\cal R}^n$, però aquí es vol introduir la
visió abstracta de l'estructura d'espai vectorial. Naturalment, només
una pinzellada per obrir gana als estudiants que puguin copsar-la.

En aquest i el següent tema es pretén introduir (o reforçar) la
capacitat d'abstracció matemàtica amb els conceptes d'espai vectorial
general i la manipulació algèbrica de símbols que representen vectors
o matrius.

És molt probable que a alguns estudiants aixó els costi molt
d'assolir, se'ls requerirà com a mínim que aprenguin les definicions i
propietats bàsiques, però l'objectiu del plantejament ha de ser que
alguns estudiants vegin com el procés de definició-propietats-teoremes
permet construir un entramat de conceptes aplicables a diferents
contextos sòlidament.

El fet que dues bases tenen el mateix nombre d'elements s'acceptarà sense demostració. A partit d'aquí
sí que es poden demanar petites demostracions  
de molts fets interessants.

Cal insistir en les demostracions, senzilles per suposat, però
importants per mostrar la solidesa formal.

\subsection{Presentació del tema}

El tema es plantejarà a partir de la definició d'EV, mostrar-ne
exemples: ${\cal R}^n$, Polinomis de grau fins a $n$, funcions
derivables, matrius $m\times n$ etc.

Pensant en els videos que els recomanem, s'aclarirà que cal
diferenciar els vecors dels escalars per la notació que s'hi empri,
sigui $\vec v$, $\bar v$, $\bf{v}$ o la que sigui.

A partir dels axiomes, es deduiran propietats simples com ara
$0 \cdot {\vec v}=0$

Definició de subespai, de CL en general, d'espai generat per un conjunt de vectors.

Definició d'IL. Crec que ens parem aquí. En els temes d'àlgebra
matricial i de diagonalització es podrà aplicar i ampliar una mica.

\subsection{Materials bàsics}

El tema plantejat en abstracte no apareix en els llibres de text que
utilitzem normalment. Caldrà escriure un breu resum de les definicions
i propietats que volem que adquireixin, que no són moltes.

Pot servir de referència (avançada) ÀLGEBRA LINEAL, ApuntsFMEBarcelona, Gener 2019, de Andreu Boix,
Paolo Lammens,
FME-UPC. \url{https://apuntsfme.gitlab.io/pdfs/primer/algebra_lineal.pdf}

\section{Activitats autònomes}

\subsubsection{Videos sobre Espais Vectorials (abstractes)}

VECTOR SPACES - LINEAR ALGEBRA
\url{https://www.youtube.com/watch?v=XDvSsDsLVLs} 13min
TheTrevTutor


Abstract vector spaces | Essence of linear algebra, chapter 15
\url{https://www.youtube.com/watch?v=TgKwz5Ikpc8} 16min
3Blue1Brown. Esmenta alguns conceptes que no hem vist encara, però
l'enfocament és interessant.
\begin{quotation}
  The tools of linear algebra are extremely general, applying not just to the familiar vectors that we picture as arrows in space, but to
  all sorts of mathematical objects, like functions.  This generality is captured with the notion of an abstract vector space. 
\end{quotation}


\subsubsection{CL de vectors en l'espai}

Visualització en geogebra.
\url{https://youtu.be/uiz5_nKO0-E}



\section{Llista d’exercicis}

\subsubsection{Exercici}
Podem aprofitar exercicis de
\url{http://www.xtec.cat/~dcastell/webatxillerat/ev/evexeresolts.htm}.

A la pàgina 12 dels apunts de la U. d'Alacant (més avall) també hi ha una colecció d'exercicis aprofitables.

\subsubsection{Exercici}
Cal pensar exercicis del tipus:

\begin{enumerate}
\item Donats vectors ${\vec v}_1, {\vec v}_2,\dots, {\vec v}_n$ d'un espai vectorial que són linealment independents, demostrar
  que si subtituïm ${\vec v}_1$ per ${\vec v}_1+{\vec v}_2$ el conjunt de vectors resultant segueix essent linealment independent.
\item Aplicant la definició, demostra que el conjunt de vectors $\{\vec{v_1}, \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\}$ és LD. 
\item Aplicant la definició, demostra que el conjunt de vectors $\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_2} + \vec{v_1}\}$ és LD.
\item Considerem l'espai vectorial del polinomis en $x$ de grau menor que tres, inclòs el polinomi nul. Demostra que els vectors
  $\{2-x^2, 3+x^2, 1+x \}$ són LI.
\end{enumerate}



\section{Suplements avançats}

Pot servir de referència (avançada) ÀLGEBRA LINEAL, ApuntsFMEBarcelona, Gener 2019, de Andreu Boix,
Paolo Lammens,
FME-UPC. \url{https://apuntsfme.gitlab.io/pdfs/primer/algebra_lineal.pdf}

El text 
\href{https://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/24932/6/apunts.pdf}{ELEMENTS D’ÀLGEBRA LINEAL} de Xaro Soler
Escrivà, Universitat d'Alacant, és més senzill, té molts exemples i
exercicis però se salta moltes demostracions.



\section{Exercicis per exàmens}



\end{document}
