xxlgebra de matrius

xlgebra de matrius

Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF

25xde marx dex2021

xndex

1 Objectius d’aprenentatge 2 Prerequisits 3 Guia pel professor x3.1 Presentacix del tema x3.2 Materials bxsics 4 Activitats autxnomes xx4.0.1 repassa R xx4.0.2 Cxlcul de matrius amb R xx4.0.3 Exercicis PemRau 13.4 xx4.0.4 Les dades com a matriu. Cxlcul de mitjanes, varixncies, estandarditzacix xx4.0.5 Les formes quadrxtiques com a funcions de dues variables 5 Llista d’exercicis xx5.0.1 Cxlculs amb R i amb altre software 6 Suplements avanxats 7 Exercicis per exxmens

Aquest xs un document de treball INTERN, en fase de discussix i molt preliminar. No en feu difussix, sisplau.

(Enllax al document principal) (Enllax a la versix pdf d’aquest document) (Enllax a la font LaTeX) (Enllax als fitxers de les figures)

1 Objectius d’aprenentatge

Matrius m × n com a espai vectorial de dimensix mn. La transposada, propietats

Matrius quadrades. Determinants. Inversa. Propietats

Matrius simxtriques. Matrius diagonals

Mxnims quadrats, solucix matricial.

Formes quadrxtiques, Matriu d’una forma quadrxtica.

2 Prerequisits

El cxlcul i propietats dels determinants es donaran per coneguts, se’n pot fer un breu repxs recopilatori, perx no s’entrarx en demostracions que poden ser llargues i poc interessants.

3 Guia pel professor

Ja s’han vist algunes propietats de les matrius, bxsicament quadrades de dimensions dos o tres. Ara es tracta de generalitzar-ho en un plantejament mxs abstracte, on les propietats siguin mxs importants que els cxlculs. Es farx veure que els cxlculs amb matrius d’ordre 3 o superior es poden deixar en mans de software adequat (R, potser Excel, Wiris o WolframAlpha en cas simbxlic).

L’objectiu d’aquest tema, com l’anterior xs acostumar l’estudiant a la manipulacix simbxlica abstracta. Tambx, naturalment, mostrar els conceptes i txcniques bxsiques del cxlul matricial, perx aixx es podrx complementar en els temes successius on s’aplicaran a la diagonalitzacix i la classificacix de les matrius de formes quadrxtiques.

La classificacix es farx segons valors propis. Es pot esmentar la regla de Descartes per saber el nombre de valors propis positius. No s’entrarx en signes de menors.

L’espai M_{m,n} com a espai vectorial. Subespais, base canxnica.

La operacix transposicix, propietats. El cas n × p de les matrius de dades multivariants.

Matrius simxtriques

x

3.1 Presentacix del tema

3.2 Materials bxsics Les seccions 12.7, 12.8, 12.9 de S&H-MAE. Cap 13.4 Quadratic forms and symmetric matrices del PembRau. Per l’estimacix per mxnims quadrats, problema 13-4, pg 264 del PemRau. Pot servir de referxncia (avanxada) el capxtol 1 de xLGEBRA LINEAL, ApuntsFMEBarcelona, Gener 2019, de

Andreu Boix, Paolo Lammens, FME-UPC. https://apuntsfme.gitlab.io/pdfs/primer/algebra_lineal.pdf.

Especialment per derivar-hi els estudiants interessats en aprofundir o en trobr demostracions que es deixen sense fer al curs.

4 Activitats autxnomes

4.0.1 repassa R Al primer trimestre, assignatura Anxlisi de dades, vas aprendre a fer anar R i RStudio. Repassa-ho i repassa tambx la sessix que aleshores vas seguir: R Programming: Matrices and Data Frames)3: R Programming)7: Matrices and Data Frames

4.0.2 Cxlcul de matrius amb R En aquesta activitat volem que aprenguis com efectuar cxluls matricials amb R. Has d’obrir RStudio (recordes les beceroles de R i RStudio? Si no, repassa-les aqux XXX. Pots veure un resum rxpid de les funcions de R per treballar amb matrius a https://www.statmethods.net/advstats/matrix.html Com a primer exemple, volem comprobar si la inversa de la transposada de A coincideix amb la transposada de la inversa per

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \end{matrix} ).

Per introduir la matriu fem servir la funcix matrix que demana els elements de la matriu en una sola llista i desprxs cal dir quantes files ha de tenir la matriu i si hem llistat els elements per files o no. La funcix t calcula la transposada:

>xAx=xmatrix(c(1,0,-1,1,1,1,0,-1,1),xnrowx=x3,xbyrowx=xTRUEx)x>xAxxxxxx[,1]x[,2]x[,3]x[1,]xxxx1xxxx0xxx-1x[2,]xxxx1xxxx1xxxx1x[3,]xxxx0xxx-1xxxx1x>xt(A)xxxxxx[,1]x[,2]x[,3]x[1,]xxxx1xxxx1xxxx0x[2,]xxxx0xxxx1xxx-1x[3,]xxx-1xxxx1xxxx1

Per invertir una matriu fem servir la funcix solve amb un xnic argument (amb dos arguments serveix per resoldre sistemes lineals). Per tant t(solve(A)) donarx la transposada de la inversa, mentre que solve(t(A)) donarx la inversa de la transposada.

>xt(solve(A))xxxxxxxxxxx[,1]xxxxxxx[,2]xxxxxxx[,3]x[1,]x0.6666667x-0.3333333x-0.3333333x[2,]x0.3333333xx0.3333333xx0.3333333x[3,]x0.3333333x-0.6666667xx0.3333333x>xsolve(t(A))xxxxxxxxxxx[,1]xxxxxxx[,2]xxxxxxx[,3]x[1,]x0.6666667x-0.3333333x-0.3333333x[2,]x0.3333333xx0.3333333xx0.3333333x[3,]x0.3333333x-0.6666667xx0.3333333x>xsolve(t(A))x==xsolve(t(A))xxxxxx[,1]x[,2]x[,3]x[1,]xTRUExTRUExTRUEx[2,]xTRUExTRUExTRUEx[3,]xTRUExTRUExTRUE

Amb aixx hem comprovat que en aquest cas la transposada de la inversa xs el mateix que la inversa de la transposada, perx no sabem si sempre es compleix aixx.

Vegem de demostrar que (A^{t})^{−1} = (A^{−1})^{t}, xs a dir, comprovar que la matriu B = (A^{−1})^{t} xs la inversa de A^{t}. Demostracix Segons la definicix de matriu inversa, cal comprovar que B · A^{t} = A^{t} · B = I, on I xs la matriu identitat. I efectivament

.  B · A^{t} = (A^{−1})^{t} · A^{t} = (A · A^{−1})^{t} = I^{t} = I  on

hem fet servir que la transposada d’un producte xs el producte de transposades en ordre transposat. Queda per demostrar l’altra igualtat que es pot fer de manera similar.■

Ara omplim una matriu 5 × 5 amb els nombres del 1 al 25.

>xCx=xmatrix(1:25,xnrowx=x5,xbyrowx=xTRUEx)
x>xC
xxxxxx[,1]x[,2]x[,3]x[,4]x[,5]
x[1,]xxxx1xxxx2xxxx3xxxx4xxxx5
x[2,]xxxx6xxxx7xxxx8xxxx9xxx10
x[3,]xxx11xxx12xxx13xxx14xxx15
x[4,]xxx16xxx17xxx18xxx19xxx20
x[5,]xxx21xxx22xxx23xxx24xxx25

Pots calcular el determinant d’aquesta matriu amb det(C). Pots explicar perqux et dona zero? (Recorda que si substituim una columna o una fila per la diferxncia d’altres dos el determinant no canvia).

Aqux omplim una matriu amb nombres aleatoris. Farem servir el sxmbol adequat per la multiplicacix de matrius en R: %*%. La suma i la multiplicacix per nombres es fan amb els mateixos sxmbols que pels nombres: + i

*.

>xC2x=xmatrix(runif(25),xnrowx=x5,xbyrowx=xTRUEx)x>xC2xxxxxxxxxxx[,1]xxxxxx[,2]xxxxxxx[,3]xxxxxx[,4]xxxxxxxx[,5]x[1,]x0.7920704x0.4002461x0.47880604x0.1782382x0.007149076x[2,]x0.2842820x0.3269534x0.40949530x0.8875670x0.079300337x[3,]x0.4652202x0.6362440x0.18795019x0.4159059x0.061233406x[4,]x0.7872349x0.1647666x0.60534092x0.1403160x0.372879997x[5,]x0.5207607x0.4932565x0.02458394x0.5853914x0.926298077x>xC2x%*%xsolve(C2)xxxxxxxxxxxxxxx[,1]xxxxxxxxxx[,2]xxxxxxxxxx[,3]xxxxxxxxxx[,4]xxxxxxxxxx[,5]x[1,]xx1.000000e+00xx1.170938e-17xx1.804112e-16xx4.267420e-16x-6.483529e-17x[2,]x-1.942890e-16xx1.000000e+00x-4.163336e-17x-1.387779e-16xx1.613293e-16x[3,]x-3.053113e-16x-2.081668e-17xx1.000000e+00xx5.551115e-17x-2.688821e-17x[4,]xx6.661338e-16xx1.110223e-16xx1.110223e-16xx1.000000e+00xx4.579670e-16x[5,]xx4.440892e-16xx1.110223e-16x-2.220446e-16x-8.881784e-16xx1.000000e+00

Hem volgut comprovar la inversa de C2 i hem obtingut un resultat estrany, no sembla que el resultat. Pots explicar qux ha passat?

Podem fer servir la funcix round() per arrodonir el resultat a tres xifres decimals:

>xround(C2x%*%xsolve(C2),3)xxxxxx[,1]x[,2]x[,3]x[,4]x[,5]x[1,]xxxx1xxxx0xxxx0xxxx0xxxx0x[2,]xxxx0xxxx1xxxx0xxxx0xxxx0x[3,]xxxx0xxxx0xxxx1xxxx0xxxx0x[4,]xxxx0xxxx0xxxx0xxxx1xxxx0x[5,]xxxx0xxxx0xxxx0xxxx0xxxx1

Hi ha molt d’altres software que permeten fer cxlculs matricials, no els introduirem tots, podeu buscar i provar i triar el que mxs us agradi.

Per exemple, WolframAlpha pot fer cxlculs simbxlic (xs a dir, que involucrin lletres sense donar-les cap vaor numxric. Proveu-hi:

inversex{{6,xa,xb,x0},x{0,x1,x-1,x3},x{1,1,-1,0},x{1,x-1,x0,x0}}

Geogebra tambx us permet fer cxlculs simbxlics amb la vista “CAS”. Podeu provar

xxDx=x{{6,xa,xb,x0},x{0,x1,x-1,x3},x{1,1,-1,0},x{1,x-1,x0,x0}}xxxEx=x{{6,a,b,c},{0,1,-1,0},{1,1,-1,0},{1,-1,0,0}}xxxExDxxxInversa(D)xxxDeterminant(D)xxxTransposa(D)

Tambx en Excel podeu cxlculs matricials, per exemple =MMULT(A3:C5;A7:C9), =MINVERSA(A3:C5) o =MDETERM(A3:C5) us

calcularx el producte de matrius, la inversa o el determinant.

Ara et toca a tu!

Quiz XXX

4.0.3 Exercicis PemRau 13.4

Els de la pxgina 262 de Cap 13.4 Quadratic forms and symmetric matrices del PembRau.

Solucions als exercicis del PemRau 13.4

Solucions als problemes del PemRau cap. 13

4.0.4 Les dades com a matriu. Cxlcul de mitjanes, varixncies, estandarditzacix

Per tractar amb dades multivariants xs molt xtil la notacix i xlgebra matricials. Posem que tenim informacix sobre n individus (per exemple empreses) i de cada individu tenim p variables numxriques X_{1}, x, X_{p} (per exemple X_{1} podria ser el nombre de treballadors de l’empresa, X_{2} el salari mitjx, etc). Habitualment es disposa la informacix en una matriu X de dimensions n × p, xs a dir cada fila correspon a un individu, i les columnes corresponen a les variables.

Llavors, si denotem 1_{n} = (1, x, 1)′ el vector (vertical) que contx n uns, el producte X′1_{n} /n = v_{m} serx el vector de les mitjanes de les variables, de [p × 1].

Si posem 1_{n} v′_{m} = 1_{n} 1_{n} ′X, tenim una matriu [n × p] amb columnes constants, la columna j contx n cxpies de la mitjana de la variable j. Per tant X_{c} = X − 1_{n} 1_{n} ′X/n xs la matriu de dades centrades.

O bx, definim la matriu centradora: M = I − 1_{n} 1_{n} ′/n, amb la qual cosa les dades centrades s’obtenen amb X_{c} = MX.

Per la traduccix a R de tot aixx, farem servir les dades LifeCycleSavings que estan incloses a R.

Farem:

data("LifeCycleSavings")x##xlesxposaremxenxformatxmatriuxperxtreballarx#xseparemxlaxmatriuxdexdadesxdexlaxrestaxd'infoxXx=xdata.matrix(datafr)xx#xmanipulantxelxdataxframexnx=xdim(X)[1]xpx=xdim(X)[2]xx#xmatriusxauxiliarsxutilsxuns.nx=xmatrix(1,n,1)xid.nx=xdiag(n)x#xlaxmatriuxidentitatxdexnxxxnxx#xvectorxdexmitjanesxvmx=xt(X)x%*%xuns.nx/nxx#xlaxmatriuxcentradoraxnxxxnxMx=xid.nx-xuns.nx%*%xt(uns.n)/nxx#xdadesxcentradesxXcx=xMx%*%xXx#xoxbexXcx=xXx-xuns.nx%*%xt(vm)x#xesxelxmateix?xround(Mx%*%xXx-x(Xx-xuns.nx%*%xt(vm)),3)x#xlaxigualtatxs'expressaxambx(doble)x==xround(Mx%*%xX,10)x==xround(Xx-xuns.nx%*%xt(vm),10)

QUIZZ Es poden plantejar preguntes per comprovar que ho fan

Es podria anar mxs enllx. Cal tenir present que molts d’ells han fet aquests conceptes a mates per socials.

S = X_{c}′X_{c}/(n − 1) matriu de varixncies/covarixncies.

v_{v} = diag(S) vector de les varixncies.

v_{sd} = v^{1/2} vector de desviacions estxndard. 1/v_{sd} vector d’inverses de les desviacions estxndard.

diag(1/v_{sd}) xs la matriu diagonal amb aquest vector a la diagonal.

X_{s} = X_{c}diag(1/v_{sd}) matriu de dades estandarditzades.

R = X_{s}′X_{s}/(n − 1) matriu de correlacions.

4.0.5 Les formes quadrxtiques com a funcions de dues variables Es tracta de posar de manifest la relacix de la matriu amb la forma quadrxtica en el cas 2D, comenxant amb les matrius diagonals.

Grxfics de superficie, corbes de nivell, etc.

5 Llista d’exercicis

5.0.1 Cxlculs amb R i amb altre software

Pots resoldre aquests exercicis amb R o amb el software que mxs t’agradi.

Introdueix la matriu C2 = ( \begin{matrix}3 & 2 & 3 & 5 \\ 10 & 0 & 0 & 5 \\ 8 & 8 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 10 \end{matrix} ). Calcula la seva inversa, el seu determinant. Comprova que el determinant de

la inversa xs igual a l’invers del determinant.

6 Suplements avanxats

7 Exercicis per exxmens

A partir de les definicions, demostra que, donades matrius quadrades A, B, sempre es compleix

. (AB)^{−1} = B^{−1}A^{−1}

A partir de les definicions, demostra que, donada una matriu A ∈ M_{m,n} , la matriu producte A^{t}A xs una matriu simxtrica.

La descomposicix en valors singulars (SVD) xs una txcnica matricial molt xtil en estadxstica i econometria per analitzar dades multivariants. Donada una matriu de dades estandarditzades X_{s} de dimensions n × p, posem X_{n} = X_{s}/\sqrt{n}. La SVD dxna X_{n} = UDV′ on D xs una matriu diagonal que contx n valors singulars a la diagonal. Quines sxn les dimensions de les matrius U i V?