xxDiagonalitzaci, aplicacions

Diagonalitzacix, aplicacions

Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF

25xde marx dex2021

xndex

1 Objectius d’aprenentatge 2 Prerequisits 3 Guia pel professor x3.1 Presentacix del tema x3.2 Materials bxsics 4 Activitats autxnomes x4.1 Clickers xx4.1.1 act1 xx4.1.2 Cxlcul de auto-vv amb Geogebra, R 5 Llista d’exercicis xx5.0.1 Exercici, per exemple, 6 Suplements avanxats 7 Exercicis per exxmens

Aquest xs un document de treball INTERN, en fase de discussix i molt preliminar. No en feu difussix, sisplau.

(Enllax al document principal)

(Enllax a la versix pdf d’aquest document) (Enllax a la font LaTeX) (Enllax als fitxers de les figures)

1 Objectius d’aprenentatge

Auto vectors/valors, propietats

Teorema espectral

Classificacix de FQ segons valors propis, regla de Descartes

Concavitat/convexitat de formes quadrxtiques

2 Prerequisits

3 Guia pel professor

Es donarx molta mxs importxncia a les petites demostracions de les propietats dels auto-valors/vectors que no pas al seu cxlcul.

El cxlcul es mostrarx en alguns casos senzills i es deixarx per Geogebra, R o wolframAlpha.

3.1 Presentacix del tema

3.2 Materials bxsics

4 Activitats autxnomes 4.1 Clickers

Se’n poden trobar a https://pi.math.cornell.edu/~maria/gq/str.pdf a partir de la pxgina 28.

Aqux recollim exemples de possibles activitats, per suposat que caldrx seleccionar-ne algunes i complementar-les amb d’altres ja disponibles.

4.1.1 act1

4.1.2 Cxlcul de auto-vv amb Geogebra, R Amb geogebra, les matrius s’entren en la forma {{2, 1, 2}, {1, 1, −1}, {2, −1, 0}}. Aqux fem servir la finestra CAS de Geogebra, recorda que per donar nom a un matriu hem d’escriure A := x. PIC Amb R, (cal adaptar aixx)

x##########################x##xvalorsxixvectorsxpropisx##########################x>xAx=xmatrix(c(2,1,2,1,1,-1,2,-1,0),xnrowx=x3)x>xAxxxxxx[,1]x[,2]x[,3]x[1,]xxxx2xxxx1xxxx2x[2,]xxxx1xxxx1xxx-1x[3,]xxxx2xxx-1xxxx0x>xeigsx=xeigen(A)xx#xoxqualsevolxnomxquexensxagradix>xnames(eigs)xx#xeigsxtexaraxdosxcomponents:x[1]x"values"xx"vectors"x>xeigs $valuesx[1]xx3.292402xx1.602705x-1.895107x>xeigs $vectorsxxxxxxxxxxx[,1]xxxxxxxx[,2]xxxxxxx[,3]x[1,]x0.8642795x-0.07589338xx0.4972536x[2,]x0.1705987x-0.88573564x-0.4317041x[3,]x0.4731987xx0.45794385x-0.7525758x##xelsxvectorsxvanxenxcolumnesx##xcomprovemxquexlaxcolumnax1xixlaxcolumnax2xsonxortogonals:x>xsum(eigs $vectors[,1]*eigs $vectors[,2])x[1]x9.714451e-17x>xeigs $vectorsx%*%xt(eigs $vectors)xxxxxxxxxxxxxx[,1]xxxxxxxxxx[,2]xxxxxxxxxx[,3]x[1,]x1.000000e+00xx1.110223e-16xx1.110223e-16x[2,]x1.110223e-16xx1.000000e+00x-3.330669e-16x[3,]x1.110223e-16x-3.330669e-16xx1.000000e+00

QUIZZ Explica el que hem fet a la darrera instruccix del llistat anterior i el resultat que hem obtingut. A WolframAlpha, nomxs cal entrar la matriu, tambx en la forma {{2, 1, 2}, {1, 1, −1}, {2, −1, 0}} i ens dona molta informacix, determinant, inversa, eigenvalues (valors propis), eigenvectors (vectors propis), etc. Les capacitats simbxliques de WolframAlpha ens permeten treballar amb matrius que depenen d’algun parxmetre, per exemple, PIC

5 Llista d’exercicis

5.0.1 Exercici, per exemple, Utilitzant WolframAlpha o similar, digues per a quins valors de a la matriu

. A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & a & −1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix} )

tx un valor propi doble. Solucix: Per a = ±2

6 Suplements avanxats Es podria plantejar la SVD?

7 Exercicis per exxmens

Demostra que si λ, v xs un eigen parell, kv xs vector propi amb el mateix valor propi.

xs cert que si λ, v xs un eigen parell, llavors kλ tambx xs valor propi amb vector propi \frac{1}{k} v. Si xs cert, demostra-ho, si no, dona un contraexemple amb una matriu de 2 × 2.