\documentclass{article}


\input{../latexDefs.tex}

\title{Diagonalització, aplicacions}
\author{Projecte Math21, Departament Economia i Empresa, UPF}


\begin{document}

\maketitle{}

\tableofcontents{}

\enllacos

\section{Objectius d’aprenentatge}

\begin{itemize}
\item Auto vectors/valors, propietats
\item Teorema espectral
\item Classificació de FQ segons valors propis, regla de Descartes
\item Concavitat/convexitat de formes quadràtiques
\end{itemize}

\section{Prerequisits}

\section{Guia pel professor}

Es donarà molta més importància a les petites demostracions de les propietats dels auto-valors/vectors que no pas al seu càlcul. 

El càlcul es mostrarà en alguns casos senzills i es deixarà per Geogebra, R o wolframAlpha.

\subsection{Presentació del tema}

\subsection{Materials bàsics}

\section{Activitats autònomes}

\subsection{Clickers}

Se'n poden trobar a \url{https://pi.math.cornell.edu/~maria/gq/str.pdf} a partir de la pàgina 28.

\comentari{Aquí recollim exemples de possibles activitats, per suposat que caldrà seleccionar-ne algunes i complementar-les amb
  d'altres ja disponibles.}
\subsubsection{act1}

\subsubsection{Càlcul de auto-vv amb Geogebra, R}

Amb geogebra, les matrius s'entren en la forma $\{\{2,1,2\}, \{1,1,-1\},\{2,-1,0\}\}$. Aquí fem servir la finestra CAS de
Geogebra, recorda que per donar nom a un matriu hem d'escriure $A:=\dots$.

\grafLink{Eigen-geogebra1.png}

Amb R, (cal adaptar això)

\begin{lstlisting}[language=R]
 ##########################
## valors i vectors propis
##########################
> A = matrix(c(2,1,2,1,1,-1,2,-1,0), nrow = 3)
> A
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    2    1    2
[2,]    1    1   -1
[3,]    2   -1    0
> eigs = eigen(A)  # o qualsevol nom que ens agradi
> names(eigs)  # eigs te ara dos components:
[1] "values"  "vectors"
> eigs$values
[1]  3.292402  1.602705 -1.895107
> eigs$vectors 
          [,1]        [,2]       [,3]
[1,] 0.8642795 -0.07589338  0.4972536
[2,] 0.1705987 -0.88573564 -0.4317041
[3,] 0.4731987  0.45794385 -0.7525758
## els vectors van en columnes
## comprovem que la columna 1 i la columna 2 son ortogonals:
> sum(eigs$vectors[,1]*eigs$vectors[,2])
[1] 9.714451e-17
> eigs$vectors %*% t(eigs$vectors)
             [,1]          [,2]          [,3]
[1,] 1.000000e+00  1.110223e-16  1.110223e-16
[2,] 1.110223e-16  1.000000e+00 -3.330669e-16
[3,] 1.110223e-16 -3.330669e-16  1.000000e+00
\end{lstlisting}

\QUIZZ
Explica el que hem fet a la darrera instrucció del llistat anterior i el resultat que hem obtingut.

A WolframAlpha, només cal entrar la matriu, també en la forma $\{\{2,1,2\}, \{1,1,-1\},\{2,-1,0\}\}$  i ens dona molta informació, determinant, inversa, eigenvalues (valors propis),
eigenvectors (vectors propis), etc.

Les capacitats simbòliques de WolframAlpha ens permeten treballar amb matrius que depenen
d'algun paràmetre, per exemple,

\grafLink{eigenWolfram1.png}



\section{Llista d’exercicis}

\subsubsection{Exercici, per exemple,}

Utilitzant WolframAlpha o similar, digues per a quins valors de $a$ la matriu \[A=
\left(
  \begin{array}{ccc}
     1 &0&0\\0&a&-1\\0&-1&0
  \end{array}\right)\] té un valor propi doble.

\solucio{Per $a=\pm 2$}

\section{Suplements avançats}

Es podria plantejar la SVD?

\section{Exercicis per exàmens}

\begin{itemize}
\item Demostra que si $\lambda, \vec{v}$ és un eigen parell, $k\vec{v}$ és vector propi amb el mateix valor propi.
\item És cert que si $\lambda, \vec{v}$ és un eigen parell, llavors $k \lambda$ també és valor propi amb vector propi $\frac1k
\vec{v}$. Si és cert, demostra-ho, si no, dona un contraexemple amb una matriu de $2\times 2$.
\end{itemize}

\end{document}
