Índex

1 Introducció

Aquest document inclou una proposta completa del que podria ser una nova primera setmana dedicada a una petita introducció al llenguatge formal de les matemàtiques i una possible segona setmana per a mates II o III.

La secció T0 correspondria a una primera setmana de mates I, la secció T0B a la possible segona setmana. Inclouen propostes de guies estructurades en slides, qüestionaris breus pre-classe per després de la primera lectura de la guia i llistes d’exercicis.

2 T0 El llenguatge de les Matemàtiques I

Es tracta de fer una lleu introducció al llenguatge formal, limitat a l’àlgebra de conjunts i la de Boole elemental. Posem davant els conjunts perquè probablement els són més familiars i els poden ajudar a entrar en el més abstracta de la lògica formal, que tractem només somerament, sense entrar en taules de veritat, demostracions, etc. que poden ser objecte de tractament a mates II o III.

Referències:

• Pemb-Rau Cap. 3.1
• S&H 1.7 Teoría de conjuntos
• S&H 1.5 Algunos aspectos de lógica

2.0.1 Guia 01 Llenguatge dels conjunts

Un conjunt és una col·lecció d’objectes considerada com una sola entitat.

Dels objectes en diem que són els membres o elements del conjunt.

Exemples:

• Els estudiants matriculats als graus de la UPF el curs 2021/22.
• Els treballadors d’una empresa
• Els nombres naturals parells més petits que 10.

Els conjunts es poden descriure per enumeració o a través d’una propietat que els seus elements o membres han de satisfer. El darrer exemple el podem descriure:

El signe ∈ es llegeix “pertany a” i l’usem per afirmar que un element forma part d’un conjunt. Si no en forma part, escriurem aA. ____________________________________________________________________________________________

Diem que un conjunt A és subconjunt d’un conjunt B si tots els elements de A també ho són de B. Llavors escribim A ⊂ B.

Per exemple, si A és el conjunt dels treballadors d’una empresa i B és el conjunt dels administratius de l’empresa, B ⊂ A.

Sempre es compleix que A ⊂ A. De fet, dos conjunts A i B són iguals, A = B si i només si A ⊂ B i B ⊂ A.

El conjunt especial ∅és el que no té cap element, per exemple. el conjunt de les vaques que poden volar._______________

Els diagrames de Venn són útils per visualitzar això.

Exemple: Si A = {a,b,c,d} i B = {c,d,e,f,g}, llavors

• A ∪ B = {a,b,c,d,e,f,g}
• A ∩ B = {c,d}
• A\B = {a,b}
• B\A = {e,f,g}

Es compleixen les següents propietats, que podem comprovar amb els corresponents diagrames de Venn:

O1

A ∪ A = A, A ∩ A = A

O2

A ∪∅= A, A ∩∅= ∅

O3

A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A

O2

(A ∪(B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. Ho escriurem A ∪ B ∪ C

O3

(A ∩(B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. Ho escriurem A ∩ B ∩ C

O4

A ∪(B ∩ C) = (A ∪ B) ∩(A ∪ C)

O5

A ∩(B ∪ C) = (A ∩ B) ∪(A ∩ C)

En el cas que tractem amb conjunts inclosos en un cert univers, podem parlar del conjunt complementari, el que està format pels elements que no hi pertanyen. Indiquem amb A^′ o A^c el complementari de A.

Es compleixen les següents propietats, que podem comprovar amb els corresponents diagrames de Venn:

C1

A^′′= A

C2

(A ∪ B)′= A′∩ B′

C3

(A ∩ B)′= A′∪ B′

Podeu practicar amb diagrames de Venn de conjunts i els seus complementaris a https://www.geogebra.org/m/KSuUb2TR.

Per exemple, així es veu (A ∪ B)′: _____________________________________________________________________________________________________

2.0.2 Quizz pre-classe 01

• Veritat o fals?
  • a ∈ A vol dir que a és un subconjunt de A
  • a{a,b,c,d}
  • A ∪ B és la intersecció de A i B
• Si A és el conjunt d’europeus, B el de catalans i C el de barcelonins, quina és correcta?
  • A ⊂ C
  • C ⊂ A
  • B ⊂ C

2.0.3 Clickers 01

• El conjunt representat a la figura correspon a
  • A ∪(B ∩ C)
  • A\(B ∪ C)
  • A ∩(B ∪ C)
  • (B ∪ C)\A
• Siguin A el conjunt d’empleats d’una empresa, B el conjunt de les dones empleades de l’empresa, C el conjunt de directius de l’empresa, D el conjunt d’empleats de la empresa que cobren més de mil euros al mes.
  Digues si són veritables o no les següents:
  • A ⊂ B
  • B ⊂ D
  • C ⊂ D
  • A\B és el conjunt d’homes empleats a l’empresa
  • B ∩ C és el conjunt de directives de l’empresa
• Recorda que (a,b) indica l’interval dels nombres reals que estan entre a i b, i que si posem (a,b] indiquem que b també està inclós en el conjunt. Digues si són veritables o no les següents:
  • (2,3) ⊂(2,6)
  • (2,5) ∩[3,6) = (3,5)
  • (2,5) ∪(5,6) = (2,6)

2.0.4 Guia 02 Lògica de les proposicions

Una proposició o enunciat és una afirmació que pot ser veritable o falsa. Per exemple “2 + 2 = 5”, o “x = 2 és solució de x² - 4”.

No considerem que “El color vermell és bonic” sigui una proposició.

Sovint expressem una proposició amb una lletra, per exemple p = “5 és un nombre primer”. ____________________

Exemples:

• La negació de x < 2 és x ≥ 2.
• L’acció A ha guanyat valor ó L’acció B ha perdut valor (a la borsa avui)
• 3 és primer i 25 és divisible per 5
• x² = 2 ⇒ x =
• a < b ⇔ b > a

Quan tenim p ⇒ q, diem que:

• p és l’antecedent i q és el conseqüent.
• p és condició suficient per q
• q és condició necessària per p

Exemples:

• Ser català és condició suficient per ser europeu.
• Ser espanyol és condició necessària per ser català.
• x = 2 és condició suficient per x² = 4.
• x > 2 és condició necessària per x > 5.

Per a p,q proposicions,

L1

¬(¬p) és equivalent a p

L2

¬(p ∧ q) és equivalent a ¬p ∨ ¬q

L3

¬(p ∨ q) és equivalent a ¬p ∧ ¬q

L4

p ⇒ q és equivalent a ¬q ⇒ ¬p

Exemples:

• El contrari de “Pere no és estudiant” és “Pere és estudiant”.
• La negació de “Joan anirà a votar” ó “Irene anirà a votar” és “Joan no anirà a votar” i “Irene no anirà a votar”.
• El contrari de “Emma i Laia són esportistes” és “Emma no és esportista” ó “Laia no és esportista”.
• La contrària de 2 < x < 5 és x ≤ 2 o x ≥ 5
• Si x > 3, llavors x > 1, és equivalent a “Si x ≤ 1, llavors x ≤ 3”.
• “Si plou, porto paraigües”, és equivalent a “Si no porto paraigües, no plou”.
• “En aquesta empresa, si ets dona no pertanys a la direcció” és equivalent a “Si pertany a la direcció, no és dona”.

Observem el paral·lelisme entre:

2.0.5 Quizz pre-classe 02

• Cert o fals? Una proposició ha de ser sempre veritable.
• Cert o fals? L . La lluna és una estrella”no pot ser una proposició.
• 3 = 5 no és una proposició

2.0.6 Clickers 02

1. Quines de les següents frases són proposicions:
   • 4⁵⁰⁰ > 5⁴⁰⁰
   • És difícil trobar les solucions de 2x³ - 3x² + 5x - 8 = 0
   • 7238 + 8327
   • 2021 = 43 * 47 + 1
   • Hi ha un nombre primer més gran que 100¹⁰⁰
2. Marca les correctes:
   1. Ser un hipopòtam és CN per ser un animal
   2. Ser bomber és CS per ser persona
   3. Ser un cotxe és CN per ser una màquina
   4. Tenir 18 anys és CN per traure’s el carnet de conduir.
3. La negació de “Plou i fa sol” és
   1. No plou i no fa sol
   2. Ni plou ni fa sol
   3. No plou o no fa sol
   4. Plou però no fa sol
   5. Quan plou de vegades fa sol
4. Marca les correctes. Si diem que p implica q
   1. p és condició necessària per q
   2. p és condició suficient per q
   3. q és condició necessària per p
   4. q és condició suficient per p
5. Substitueix l’espai en blanc per “condició necessària”, “condició suficient”, o “condició necessària i suficient”.
   1. 2x + 5 > 13 és              per x ≥ 0
   2. x ≥ 50 és              per x ≥ 0
   3. x ≥ 0 és              per x ≥ 4
6. Substitueix l’espai en blanc per “si”, “només si”, o “si i només si”.
   1. x =              x = 2
   2. x² > 0              x > 0
   3. x² = 4              x = 2
   4. x² = 4              x = 2 ∨ x = -2
   5. x² < 9              x < 3
   6. x(x² + 1) = 0              x = 0
   7. x(x + 3)              x > -3
7. Per cada proposició de les següents, diues quins valors de a fan que sigui veritat.
   1. 3 < 4 i a = 12
   2. 4 < 3 i a = 12
   3. 4 < 3 ó a = 12
   4. Si a = 4 × 3, llavors 3 < 4
   5. Si a = 4 × 3, llavors 3 > 4
   6. Si 3 > 4. llavors a = 4 × 3

Més clickers sobre logica proposicional bàsica: http://myslu.stlawu.edu/~plock/Math280Clicker/Ma280-1.ppt

A la mateixa pàgina n’hi ha d’altres sobre quantificadors, http://myslu.stlawu.edu/~plock/Math280Clicker/Ma280-3.ppt, demostracions, etc que podrien ser utils per una setmana de mates II.

2.0.7 Exercicis Llista

1. Tal com ho hem definit, quan diem P o Q, entenem un “o” inclusiva, és a dir, si diem que P ∨ Q, estem dient que una de les dues o totes dues són certes.
   De vegades ens interessa expressar una disjunció excloent, és a dir que només sigui certa quan una de les dues i no totes dues siguin certes.
   1. Fent servir només les connectives ∨,∧,¬, expressa la proposició: Exactament una de les dues, P o Q són veritat.
   2. Com expresses la contrària de l’anterior amb paraules?
   3. Com expresses aquesta negació formalment?
2. Se’n poden traure del S&H 1.7:

2.0.8 Exercicis extra

3 T0B El llenguatge de les matemàtiques II

Es tracta d’ampliar una mica el que s’ha fet a Matemàtiques I sobre el llenguatge. Allà s’ha tractat el llenguatge dels conjunts i els elements bàsics de la lògica booleana.

Aquí introduirem els quantificadors universal i existencial amb un repàs de les regles bàsiques dels connectors i en una segona guia alguns elements dels mètodes de demostració.

Referències:

• Pemb-Rau, Cap. 31.1
• IB-AnAppr, capítol 5.
• S&H cap. 1.6.

3.0.1 Guia 0B1: Tots o algun, els quantificadors lògics

Recordem:

I recordem encara:

Nota: En llenguatge no formal hi ha expressions que poden confondre. Per exemple, en català, les expressions “Res no és gratuït, tot té un preu” i “Res és gratuït, tot té un preu” es consideren vàlides i equivalents. __________________

Si tenim un conjunt X i una afirmació p(x) sobre els seus elements x ∈ X que pot ser veritat o falsa, podem dir

Exemples, per , el conjunt dels nombres naturals, les següents són veritat:

• ∀n ∈,(n + 1)² = n² + 2n + 1
• ∃n ∈ : n² = 16
• ∃n ∈ : n > 16
• Existeix algún múltiple de 5 que és parell.

però les següents són falses:

• ∀n ∈,(n + 1)² = n² + 1
• ∃n ∈ : n² = 20
• ∃n ∈ : n > n - 1
• Tots els múltiples de 5 són parells.
• Existeix algún nombre natural n tal que n - 1 = 2n.

La negació canvia un quantificador en l’altre.

En versió formal:

¬	equival a	∃x ∈ X,¬p(x)
¬	equival a	∀x ∈ X,¬p(x)

Exemples:

• El contrari de “Ha plogut tots els dies” és “Algun dia no ha plogut”.
• El contrari de “Tots els treballadors cobraran més” és “Algun treballador no cobrarà més”.

Exemples en notació formal:

• El contrari de ∀n ∈,n² > n és ∃n ∈ : n² ≤ n
• El contrari de ∃n ∈ : n² < n + 25 és ∀n ∈,n² ≤ n + 25

Exemples (al tanto amb el llenguatge poc formal, pot induir a confusions, sovint va bé formalitzar la proposició)

• El contrari de “tots els homes són honestos” és “hi ha algun home que no és honest”.
  Això ho formalitzem posant H el conjunt de tots els homes, p(h) = L’home h és honest, i tenim ∀h ∈ H,p(h) i el contrari ∃h ∈ H : ¬p(h).
• El contrari de “hi ha alguna vaca que pot volar” és “totes les vaques no poden volar” o “cap vaca pot volar”.
• El contrari de “tots els europeus són espanyols” és “algun europeu no és espanyol”.
• Si neguem que “Algú ha perdut el mòbil”, direm que “Ningú ha perdut el mòbil”, o bé “Tots no han perdut el mòbil”.

Observa que si en una proposició es combina algun quantificador amb altres connectives, cal anar al tanto! I si a més a més s’hi barreja el llenguatge no formal, més perill!

• El contrari de “Per tot x es compleix p(x) ∧ q(x)” serà “Per algun x es compleix ¬p(x) o es compleix ¬q(x)”.
• El contrari de “Per tot x es compleix p(x) ∨ q(x)” serà “Per algun x es compleix ¬p(x) i es compleix ¬q(x)”.

Exemples

• El contrari de “tots els treballadors faran festa dissabte i diumenge” és “algun treballador treballarà dissabte o diumenge”.
• El contrari de “Algun pais africà té la vacuna de Pfizer o la de Moderna” és “Tots els països africans no tenen la Pfizer i no tenen la Moderna”.

Formalitzem aquest darrer exemple: posem A el conjunt de països africans. p(a) = el país a te la Pfizer. q(a) = el país a té la Moderna”. Llavors traduïm:

• “Algun pais africà té la vacuna de Pfizer o la de Moderna” és ∃a ∈ A : p(a) ∨ q(a)”
• El contrari és ∀a ∈ A,¬p(a) ∧ ¬q(a), és a dir “Tots els països africans no tenen la Pfizer i no tenen la Moderna”.

Si recordem que ¬(p ⇒ q) és equivalent a p ∧ ¬q, podem dir ara:

3.0.2 Quizz pre-classe 0B1

1. Repassem les connectives lògiques que vem veure anteriorment.
   1. Digues si són veritat o no les següents afirmacions.
      1. Per expressar p ó q fem servir p ∨ q.
      2. Si diem que p ó q és veritat, no pot ser que p i q siguin totes dues veritat.
      3. Si diem que p i q és fals, totes dues p i q han de ser falses.
      4. Si diem que p ⇒ q és veritat, llavors q ha de ser veritat.
2. Quina diries que és la contrària de “Totes les meves amigues tenen moto o cotxe”?
   1. Totes les meves amigues no tenen moto.
   2. Totes les meves amigues no tenen moto ni cotxe.
   3. Alguna amiga meva no té cotxe.
   4. Alguna amiga meva no té moto ni cotxe.
3. Si és cert que “Si plou llavors el pati està mullat”, i sabem que el pati està sec,
   • Podem assegurar que plou
   • Podem assegura que no plou
   • Podem assegurar que fa sol
   • No podem assegurar cap de les altres

3.0.3 Guia 0B2 La demostració matemàtica

En aquesta guia introduïm les idees bàsiques dels mètodes de demostració matemàtica. Tractarem

• Demostració directa
• Demostració indirecta
  • per contraposició
  • per contradicció, o reducció a l’absurd.

La demostració per inducció quedaria per a treball opcional per a matrícula. ________________________________

És un mètode que consisteix en demostrar que una conclusió és veritat a partir de una o diverses hipòtesis veritables.

Exemple: Demostrar que la suma de dos nombres parells és un nombre parell.

La hipòtesi és que dos nombres n,m són parells.

La conclusió és que la suma n + m és parell.

Demostració: Suposant que n,m són nombres naturals parells, hem de demostrar que n + m és un nombre parell.
Segons la definició de nombre parell, podem escriure n = 2k₁,m = 2k₂.
Llavors, n + m = 2k₁ + 2k₂ = 2(k₁ + k₂), i per tant, n + m és parell.

QED

La que acabem de veure és una demostració directa: a partir de la hipòtesi fem una cadena de raonaments lògics correctes per arribar a la conclusió.

Un altre exemple: Demostrar que el quadrat d’un nombre parell és parell.

Demostració: Suposant que n és un nombre natural parell (hipòtesi),
hem de demostrar que n² és un nombre parell (conclusió).
Segons la definició de nombre parell, podem escriure n = 2k.
Llavors, n² = 4k² = 2(2k²), i per tant, n² és parell.

QED

Proveu ara de demostrar que “El producte de dos nombres senars és senar”. _________________________________

Recordem que P ⇒ Q és equivalent a ¬Q ⇒ ¬P, o dit d’altra manera: Si P llavors Q és equivalent a “Si noQ, llavors noP”.

La demostració per contraposició de “Si P, llavors Q” consisteix en demostrar que “Si noQ, llavors noP”.

Exemple: Per demostrar que “Si n² és parell, n és parell”, ho fem per contraposició, demostrarem que “Si n no és parell, n² no és parell.”

Demostració: Si n és un nombre natural no parell, llavors és senar.
Si n és senar, com que el producte de dos senars és senar, n ⋅ n = n² és senar.

QED

La demostració per contradicció o per reducció a l’absurd consisteix en suposar falsa la conclusió i arribar a una contradicció, a una afirmació impossible de ser certa.

Exemple

Demostrar que no és racional, és a dir que no es pot expressar com = a∕b amb a,b enters.

Demostració: Suposem contràriament que sí es pot tenir = a∕b amb a,b enters.
Si ambdós a i b són parells, els dividim per dos fins que no siguin tots dos parells.
Llavors tenim 2 = a²∕b² o bé a² = 2b² i veiem que a² és parell i per tant a és parell.
Podem escriure, a = 2k per algún enter k, a² = 4k² = 2b², i tenim b² = 2k².
Resulta que b² és parell i per tant b és parell també: contradicció perqué haviem vist que b era senar!

QED

Un exemple no matemàtic: El Sr. X no és culpable de l’assessinat de Y.
Demostració: Demostració per reducció a l’absurd:
Si contràriament fos culpable, necessàriament havia de ser en el lloc dels fets el dia D.
Però sabem que X era a la Patagònia el dia D, i no pot ser que fos a dos llocs tant distants el mateix dia: contradicció!

QED

Exemple: Demostrar (per contradicció) que per n ∈, si 3n + 2 és senar, llavors n és senar.
Demostració: Si contràriament fos 3n + 2 senar i n parell,
podriem escriure n = 2k per algún k ∈.
I tindriem 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1) amb la qual cosa 3n + 2 seria parell,
contradicció! Per tant no pot ser n parell, ha de ser n senar.

QED

Observa que: Sovint una demostració per contradicció es pot reformular com una demostració per contraposició.__

∙ Demostrar que, Donats dos nombres naturals m,n, tots dos són senars si i només si el producte mn és senar.

Cal fer dues demostracions:

1.- m i n són senars ⇒ mn és senar.
Demostració: Demostració directa: Posem m = 2k₁ + 1,n = 2k₂ + 1.
Tindrem mn = (2k₁ + 1)(2k₂ + 1) = 4k₁k₂ + 2k₁ + 2k₂ + 1 = 2(2k₁k₂ + k₁ + k₂) + 1 que és senar.

QED

2.- m i n són senars ⇐ mn és senar.
Demostració: Demostració per contraposició: Si algún m o n no és senar, demostrarem que mn no és senar.
Posem que m és parell (si fos n qui és parell, els intrecanviem).
Llavors tenim m = 2k, i llavors mn = 2kn és parell. Per tant la contrapositiva és veritat.

QED

∙ Demostrar que Donats dos nombres naturals m,n, si m + n és senar, llavors exactament un dels dos m o n és senar.

Tenim dues proposicions:
P : La suma m + n és senar.,
Q : Exactament un dels dos, m o n és senar,
i volem veure que P ⇒ Q.

És més senzill demostrar, per contraposició, que ¬Q ⇒ ¬P, és a dir que
¬Q : tots dos són senars o tots dos són parells,
¬P : la suma no és senar.

Demostració: Hi ha dos casos:
Cas 1.- Tots dos són senars: m = 2k₁ + 1,n = 2k₂ + 1,
Llavors m + n = 2(k₁ + k₂ + 1) és parell. QED. Cas 2.- Tots dos són parells, m = 2k₁,n = 2k₂.
Llavors m + n = 2(k₁ + k₂) també és parell. QED ______

Per mostrar que una afirmació dels tipus “Tots els …compleixen …” és falsa, només cal trobar un cas que no ho compleix. Haurem provat que és veritable la contrària “Existeix un …que no compleix …”.

En diem un contraexemple.

• “Tots els polítics són honestos” és fals, només cal esmentar-ne un que no ho sigui.
• Totes les equacions del tipus ax² + bx + c = 0 tenen dues solucions reals diferents. Fals: l’equació x² + 2 = 0 no té cap solució real.
• Tot múltiple de 5 és també múltiple de 15. Fals: 20 és un contraexemple.

Atenció: Un exemple no mostra que l’afirmació sigui veritable, un contraexemple sí mostra que és falsa!

• És cert que la suma de tres nombres consecutius és divisible per tres?
  Sí: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) és divisible per tres sigui qui sigui n. Ho hem demostat per tots els n.
• És cert que la suma de quatre nombres consecutius és divisible per quatre?
  No! Contraexeemple: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

3.0.4 Quizz pre-classe 0B2

3.0.5 Exercicis Llista

1. Expressa la contrària de cadascuna de les següents afirmacions. Recorda que no es tracta aquí si són afirmacions verdaderes o no.
   1. Cada dia de les vacances vem anar a la platja o al parc d’atraccions
   2. Totes les treballadores de l’empresa tenen categoria inferior a D.
   3. Tots els nois de la classe porten bambes Rivuk.
   4. Alguna noia de la classe porta texans Leibis.
   5. Algun dels meus amics és alemany.
   6. Cap professor de la facultat és de nacionalitat australiana.
   7. La funció f(x) és diferenciable en tots els punts de (0,1).
   8. Tot nombre natural és parell o senar.
   9. Tot múltiple de 3 és també múltiple de 5.
   10. Existeix un punt x₀ tal que f(x₀) = 0.
   11. Per tots els punts x₁ > x₂ de l’interval (0,1) es compleix f(x₁) > f(x₂).
   12. En algun punt x₀ del domini de la funció f(x), es compleix que f′(x) = 0 i f′′(x₀) < 0.
   13. La matriu M té alguna fila amb tots els elements iguals a zero.
2. (problema 1.6-1 de S&H) Considerem l’afirmació (discutible): Si la inflació augmenta, l’atur disminueix. Digues quines de les següents afirmacions són equivalents.
   1. Perquè disminueixi l’atur cal que augmenti la inflació.
   2. Una condició suficient per tal que disminueixi l’atur és que creixi la inflació.
   3. L’atur disminueix només si creix la inflació.
   4. Si l’atur no disminueix, la inflació no creix.
   5. Una condició necessària per tal que creixi la inflació és que l’atur disminueixi.
3. Expressa les set primeres afirmacions de l’exercici anterior en la forma ∀x ∈ X,p(x) o en la forma ∃x ∈ X : p(x) segons el cas. Per exemple, per la primera, direm: Sigui X el conjunt dels dies de vacances, p(x) = “El dia x vem anar a la platja” i q(x) = “El dia x vem anar al parc d’atraccions”. L’afirmació queda expressada amb ∀x ∈ X,p(x) ∨ q(x).
4. Demostra (per demostració directa) que la suma de cinc nombres naturals consecutius és múltiple de cinc.
5. Eficiència Pareto En el llibre de text de Introducció a la Microeconomia que heu estudiat trobem, a 5.8.1 La curva de eficiencia de Pareto la següent definició: Una asignación factible es eficiente en términos de Pareto si no existe una asignación dominante en términos de Pareto: es decir, nadie puede mejorar sin empeorar la situación de otro.

   Llegeix altre cop el capítol si no tens clar què vol dir la eficiència en termes Pareto.

   Aquí ens interessa formalitzar els conceptes que apareixen. Posem que A₁,A₂ siguin dues assignacions factibles, és a dir que assignen a cada individu unes quantitats que no superen el disponible i denotem A₁(i),A₂(i) la utilitat que obté l’individu i segons les assignacions respectives.

   Diem que A₁ domina A₂ si, per tots els individus, l’assignació segons A₁ és més gran o igual que segons A₂, és a dir que ∀i,A₁(i) ≥ A₂(i) . Escribim A₁ ≽ A₂ en aquest cas.

   Llavors, si denota el conjunt d’assignacions factibles, diem que A^⋆ és una assignació Pareto-eficient si ∀A ∈,A^⋆ ≽ A.

   1. Digues si per qualsevol assignació A és cert que A ≽ A. Resposta: Sí és cert, perquè per qualsevol individu es compleix A(i) ≥ A(i).
   2. Expressa fent aquestes notacions la afirmació “A₁ no domina A₂”.
      Resposta: Existeix algun individu pel qual l’assignació segons A₁ no és major o igual que segons A₂, o bé: ∃i : A₁(i) < A₂(i).
   3. Creus que “A₁ no domina A₂” és aquivalent a “A₂ domina A₁”?. Raona la teva resposta.
      Resposta: No. La segona afirmació diu que per tots els individus la assignació segons A₁ és menor o igual que segons A₂.
   4. Expressa amb les teves paraules la afirmació “A^⋆ no és una assignació Pareto-eficient”. Resposta: Voldrà dir que hi ha alguna assignació A ∈ tal que A^⋆ no domina A.

3.0.6 Exercicis extra

1. (Problema 1.6-2 del S&H) Analitzeu el següent epitafi (a) des del punt de vista lògic i (b) des del punt de vista poètic.

   Els que el van conèixer el van estimar
   Els que no el van estimar no el van conèixer.