Índex

(Enllaç a la versió pdf d’aquest document)

(Enllaç al document principal)

1 El llenguatge de les matemàtiques

• Les beceroles del llenguatge formal
  • Les connectives lògiques: conjunció, disjunció, negació, implicació
  • Proposicions
  • Tots o algún, els quantificadors
• El llenguatge dels conjunts
  • Conjunts i elements
  • Unió, intersecció, subconjunts
• El raonament matemàtic
  • Definició, propietats, teoremes
  • Demostracions

2 Funcions, equacions, inequacions

• Concepte de funció, domini, recorregut, gràfica
• Funcions lineals, equació de la recta, intersecció de rectes, equacions i inequacions lineals
• Elements de programació lineal
• La funció valor absolut, la funció f(x) = |x|∕x
• Funcions quadràtiques, paràboles, completar el quadrat, desplaçament de y = x².
• Transformacions de gràfiques: reflexions en els eixos, translacions, canvis d’escala en els eixos
• Ús de geogebra o eines equivalents en aquests items

3 Funcions (II) Potencials, desigualtats, inequacions

• Composició de funcions, funció inversa
• Funcions potencials, y = ax^b comportament segons els valors de a,b
• Corbes d’isonivell
• Desigualtats, inequacions
• Encara transformacions de gràfiques

4 Funcions (III) Exponencials, logarítmiques, trigonomètriques

• Exponencials, (de)creixement,
• Logaritmes, regles del càlcul, equacions i inequacions
• comparació dels creixements logarítmic, lineal, polinònimc, exponencial
• Funció sinus, cosinus, tangent, definició i gràfiques

5 Límits i continuïtat

• Consolidar el què s’ha vist en els darrers temes sobre les funcions d’una variable
• Introduir la idea de límit d’una successió, sense formalitzar
• Alguns exemples d’aplicació de límit de successions
• Límit d’una funció d’una variable com a límit de f(x_n) per qualsevol successió x_n → ∞
• Límits i operacions: suma, producte, quocient
• Funció continua, discontinuïtats inifinites, de salt, evitables.
• Exemples de discontinuïtats de salt
• Continuïtat i operacions: composició, suma, producte, quocient

6 Teoremes de Bolzano, valors extrems

• Teorema de Bolzano
• Solució numèrica d’equacions: l’algoritme de bisecció
• Algoritme de la falsa posició
• Conjunts tancats, oberts
• Conjunts convexos, compactes

7 La derivada, el creixement

• Definició i interpretació de la derivada
• La derivada i la tangent
• L’aproximació lineal
  • El mètode de Newton
• Repàs de les regles de càlcul de derivades
• xx

8 Funcions de dues variables

• Definició de funció de dues o més variables.
• Gràfic 3D, gràfic d’isonivells, seccions verticals
• Desplaçaments segons els eixos i canvis d’escala
• Derivades parcials, vector gradient i matriu hessiana

9 Espais vectorials

• Definicions d’espai vectorial abstracte, exemples
• Propietats bàsiques que se’n deriven
• Combinacions lineals, espai generat
• Subespai vectorial: dfinicions i propietats bàsiques
• Independència lineal
• Base d’un espai vectorial, dimensió.

10 Àlgebra de matrius

• Matrius m × n com a espai vectorial de dimensió mn. La transposada, propietats
• Matrius quadrades. Determinants. Inversa. Propietats
• Matrius simètriques. Matrius diagonals
• Mínims quadrats, solució matricial.
• Formes quadràtiques, Matriu d’una forma quadràtica.

11 Diagonalització, aplicacions

• Auto vectors/valors, propietats
• Teorema espectral
• Classificació de FQ segons valors propis, regla de Descartes
• Concavitat/convexitat de formes quadràtiques